Re: [微積] Q function不等式

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: ※ 引述《thumbg75446 (EDWIN)》之銘言：
: : 想請問一下這題怎麼證
: : https://i.imgur.com/I5vT7Le.jpg
: : 謝謝大大～
: 我跟H大的方法不一樣，
: 但是有一個重要步驟一直證明不出來，
: 想要拜託版上強者幫忙證明。
:                    ∞                      π/2
: 試證：1/√(2pi) * ∫e^(-t^2 /2)dt = (1/π)∫e^(-x^2 /(2 sin(k)^2))dk
:                    x                       0
: 這個式子證出來之後，
: 就可以很容易得到H大的上限結果1/2 * e^(-x^2 /2)
: 但是我覺得最有趣的還是那個積分恆等式。
: 感謝各位～

這個只要證明：
                                  π/2
    e^(-t^2 /2) /√(2π) = (t/π)∫e^(-t^2 /(2 sin(k)^2))/sin(k)^2 dk
                                  0

RHS 用 u = cot(k) 換掉就可以看出來了，

             ∞
RHS = (t/π)∫e^(-t^2 *(u^2+1) /2) du = (t/π)e^(-t^2 /2) *√(π/2) /t = LHS
             0

然後等號兩邊同時在 (x,∞) 上積分再用 Fubini's Thm. 就得證了。

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推 Lanjaja     : 太感謝V大幫我解答了，想請問一下最後一個du積分怎
→ Lanjaja     : 麼積?我先對dx積分，du積分e^(...)/(1+u^2) 不知道
→ Lanjaja     : 接下來該怎麼做，還請V大開示一下
→ Lanjaja     : 感謝V大，我做出來了，我竟然因為一個e的積分做錯弄
→ Lanjaja     : 了一整天，真不好意思><