[分析] <α',α'>α'' = <α',α''>α'

[znmkhxrw (QQ)]

請問一下 令α：[a,b]→R^n

如果α滿足 <α',α'>α'' = <α',α''>α'

如何證明α'' = 0 on [a,b] ??

P.S.

(1) 這是用變分法實作R^n兩點間最短距離=直線，所以α'' = 0應該是對的

(2) 沒有假設arclength，所以<α',α''> =0 不能用

(3) n=2時且令α(t) = (t,f(t))，結果會是對的，

    但是for general α(t) = (x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)) 就不知道怎麼推QQ

    目前只有覺得 α''與α'同向幾乎是不可能的，但是搬來搬去，內積來內積去

    就只是在同一個等式繞圈子...

謝謝幫忙!

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推 yclinpa     : 你的式子，在直線上的變速率運動必定成立
推 Desperato   : 如果 a'' 和 a' 平行 則 a 只能是直線(有這種東西
→ Desperato   : 嗎? 我對這邊很不熟)
我也有這個fu XD

推 Vulpix      : 乘以積分因子 <α',α'>^-1.5 後可以直接積分。
→ Vulpix      : 你只是想要：curvature=0 => straight line
→ Vulpix      : 所以其實此時可以先證明：換一個參數，方程式長相仍
→ Vulpix      : 一樣。這樣一來就可以換到弧長參數上去做。
→ Vulpix      : 至於如果 a'' 和 a' 平行，a 真的只能是直線。
→ Vulpix      : 因為如果有歪掉，勢必要轉彎，一轉彎就要有法線加速
→ Vulpix      : 度，那加速度 a'' 和速度 a' 就不平行了。
謝謝V大 我等等試試看積分因子 <α',α'>^-1.5

至於reparametrized by arclength 還有t,n,b坐標系 , curvature torsion...

這些曲線幾何的東西我當時沒引入 主要是覺得應該可以不用以上這些

去簡單的證出α''=0 只是不知道哪裡卡住了QQ
※ 編輯: znmkhxrw (210.242.52.37), 04/02/2018 13:38:40
推 Vulpix      : 另一個證明。原式內積α'，並由柯西不等式知道α'和
→ Vulpix      : α"平行。打完才發現是多餘的，重來。
→ Vulpix      : 原式其實是 α" = f(t)α' 這種長相，所以解就是
→ Vulpix      : α'(t) = e^(∫fdt)α'(0)，然後再積分一次就看到直
→ Vulpix      : 線了。
→ znmkhxrw    : 這不錯耶!! 謝謝V大