※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 請問一下 令α：[a,b]→R^n
: 如果α滿足 <α',α'>α'' = <α',α''>α'
: 如何證明α'' = 0 on [a,b] ??
: P.S.
: (1) 這是用變分法實作R^n兩點間最短距離=直線，所以α'' = 0應該是對的
: (2) 沒有假設arclength，所以<α',α''> =0 不能用
: (3) n=2時且令α(t) = (t,f(t))，結果會是對的，
: 但是for general α(t) = (x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)) 就不知道怎麼推QQ
: 目前只有覺得 α''與α'同向幾乎是不可能的，但是搬來搬去，內積來內積去
: 就只是在同一個等式繞圈子...
: 謝謝幫忙!
對第(3)點覺得有點奇怪
舉個例子：α(t) = (0,t^2)
<α',α'>α'' = (0,8t^2) = <α',α''>α'
但α'' = (0,2), 並非0向量。
我沒有證出α'' = 0 on [a,b], 但證了其他東西，不知道是不是你要的？
p.s. 剛發現 → Vulpix : 你只是想要：curvature=0 => straight line
假設∥α'∥ > 0 on [a,b]
α'(t)
Let unit tangent vector T(t) = ────
∥α'∥
目標：直接證明T'(t)=0向量
α''(t) α'(t)*＜α',α''＞
T'(t) = ──── - ────────── = 0向量
∥α'∥ ＜α',α'＞^1.5 α滿足的條件
因此，T(t) = 某個單位常數向量
這樣子直觀來看，α(t)是在一條直線上跑
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