推 PPguest : 抱歉,前面我弄混了,我想表達的是證α''(t)=0 有點怪 04/02 18:17
喔喔 我當初會猜α''(t)=0是因為猜測α(t)=vt, some v€R^n
但是討論到現在確實不一定會如此 唯有by arclength才會是這麼乾淨的解
※ 編輯: znmkhxrw (210.242.52.37), 04/02/2018 18:20:18
※ 引述《PPguest (QQ)》之銘言：
: ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: : 請問一下 令α：[a,b]→R^n
: : 如果α滿足 <α',α'>α'' = <α',α''>α'
: : 如何證明α'' = 0 on [a,b] ??
: : P.S.
: : (1) 這是用變分法實作R^n兩點間最短距離=直線，所以α'' = 0應該是對的
: : (2) 沒有假設arclength，所以<α',α''> =0 不能用
: : (3) n=2時且令α(t) = (t,f(t))，結果會是對的，
: : 但是for general α(t) = (x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)) 就不知道怎麼推QQ
: : 目前只有覺得 α''與α'同向幾乎是不可能的，但是搬來搬去，內積來內積去
: : 就只是在同一個等式繞圈子...
: : 謝謝幫忙!
: 對第(3)點覺得有點奇怪
: 舉個例子：α(t) = (0,t^2)
: <α',α'>α'' = (0,8t^2) = <α',α''>α'
: 但α'' = (0,2), 並非0向量。
我原文有說令α(t) = (t,f(t))，所以你令α(t) = (0,t^2)會奇怪蠻正常的XD
: 我沒有證出α'' = 0 on [a,b], 但證了其他東西，不知道是不是你要的？
: p.s. 剛發現 → Vulpix : 你只是想要：curvature=0 => straight line
: 假設∥α'∥ > 0 on [a,b]
: α'(t)
: Let unit tangent vector T(t) = ────
: ∥α'∥
: 目標：直接證明T'(t)=0向量
: α''(t) α'(t)*＜α',α''＞
: T'(t) = ──── - ────────── = 0向量
: ∥α'∥ ＜α',α'＞^1.5 α滿足的條件
: 因此，T(t) = 某個單位常數向量
: 這樣子直觀來看，α(t)是在一條直線上跑
其實我也是證到相同東西...
T(t) = constant vetor, say v, with │v│=1
則 α'(t) = │α'(t)│v
t
所以 α(t)-α(a) = s(t)v, where s(t) = S │α'(y)│dy
a
即α的軌跡會落在α(a)+v上，故直線
但是！假設v=(a,b), α(a)=0的話
α(t) = (a*t^2,b*t^2) = (a*e^t,b*e^t) ...這些東西都會是解
唯有一開始先要求by arclength的話 才能推得α(t)=(at,bt)
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