[分析] Construct R from Q by Dedekind cuts

[annboy (BlueGun)]

本文中內容和符號是根據

Rudin,Principles of Mathematical Analysis,3rd edition





在Chapter 1的Appendix中，作者以(Dedekind)Cuts的方式定義R。

我困惑的地方在於:

Step 9中，有一句話是如此描述:

"It is this identification of Q with Q* which allows us to regard Q as

a subfield of R."

我目前理解的是:
(1)
R is an ordered field with least-upper-bound property.
(2)
Q* is a subfield of R,since every member of Q* is a cut .
(3)
Q* is isomorphic to Q.



我不解的是，在Theorem 1.19中，有定義subfield，

但R跟Q中order,addition,multiplication定義的方式完全不同，且R也不會包含Q



我猜想這段的意思是否是:

Since Q* is a subfield of R , there is another field F which is isomorphic to

R such that F contains Q as subfield.




我覺得作者弄得我好亂阿，我在想是不是我根本沒搞懂作者的意思，

煩請各位解惑

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.204.63.56
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※ 編輯: annboy (180.204.63.56), 04/12/2018 11:41:44
推 LPH66       : 嚴格上來說身為 R 的 subfield 的是 Q*
→ LPH66       : 之所以說 Q 也是是基於 Q*<->Q 的這個 isomorphism
→ LPH66       : 不然就如你所說 R 和 Q 定義的運算等等都不同
→ LPH66       : 就因為有這個 isomorphism 才能"看成是" subfield
感謝回覆，但我還是卡在"看成是"的這個部分。
我後來又仔細揣摩了這個部分，忽然想起來在Theorem 1.26好像也發生過類似的事情:
identify (a,0) with a , a is real , (a,0) is complex .
跟此處identify r* with r 有種異曲同工之感。
我質疑的是作者是否在subfield的定義說得太死了。
推 arthurduh1  : identification 就是為了處理這種事
→ arthurduh1  : 你猜想的那段是在 Q 上造一個 iso. to R 的 field
→ arthurduh1  : 但原意是在 R 裡面找出 iso. to Q 的 field, 就是Q*
→ arthurduh1  : 這是一種 abuse of notation, 所以當然會不符合
→ arthurduh1  : 嚴格的定義
感謝解釋。請教這邊abuse of notation的意思是:
"雖然都寫成Q，但可能是在講Q，也可能是在講Q*"的意思?
推 Vulpix      : 比較類似：從此以後Q*才是有理數系，而-5/3等記號只
→ Vulpix      : 是其元素的表示方式。
感謝說明，這樣講的話還蠻好理解的。
※ 編輯: annboy (180.204.63.56), 04/13/2018 00:37:02
推 arthurduh1  : 差不多, 因為他們是 iso. as field, 在我們考慮的
→ arthurduh1  : 範圍內我們姑且用同一個符號, 因為方便
了解
※ 編輯: annboy (180.204.63.56), 04/13/2018 14:40:57