Re: [分析] Construct R from Q by Dedekind cuts

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《annboy (BlueGun)》之銘言：
: 本文中內容和符號是根據
: Rudin,Principles of Mathematics Analysis,3rd edition
我念Apostol的，見解供參。
: 在Chapter 1的Appendix中，作者以(Dedekind)Cuts的方式定義R。
戴德金分割的奧義在假設我們只知道Q(有理數)，現在我們用分割法找出分割點的左
邊所有的Q，以及分割點右邊所有的Q，那麼所有的Q一定在分割點、分割點左邊
、分割點右邊。但分割點本身是不是Q呢?有時候是，如果不是，我們就引入了無理數
的結構。也就是用"分割"構造無理數。

: 我困惑的地方在於:
: Step 9中，有一句話是如此描述:
: "It is this identification of Q with Q* which allows us to regard Q as
: a subfield of R."
由我上述，給定一條直線，由我上述，直線上"所有"點都可以當分割點，也就是
分割點是"完備的"，但我上述分割，在Q外還有點Q*(無理數)不在Q內，故我們藉
由分割將有理數和無理數辨別(IDENTIFICATION)開了，所以Q是直線(R)的絕對子集(PROPER
SUBSET)，Q和R都是FIELD ，所以Q是R的SUBFIELD。
FIELD滿足加法交換群、乘法交換群、分配律結合律等等。

: 我目前理解的是:
: (1)
: R is an ordered field with least-upper-bound property.
正確
: (2)
: Q* is a subfield of R,since every member of Q* is a cut .
  Q才是，Q*若是代表無理數的話，無理數沒有封閉性，不是體。
  Q*是R的SUBSET。
: (3)
: Q* is isomorphic to Q.
Q*比Q個數多很多，Q是MEASURE ZERO，所以Q和Q*無法建
立個數的1對1對應，故不是ISOMORPHIC。
: 我不解的是，在Theorem 1.19中，有定義subfield，
: 但R跟Q中order,addition,multiplication定義的方式完全不同，且R也不會包含Q
R和Q可以定義不同ORDER，R按照大小，Q按照M/N，M，N照正負整數的排序。
代數裡，Q可以是R的SUBFIELD。
: 我猜想這段的意思是否是:
: Since Q* is a subfield of R , there is another field F which is isomorphic to
: R such that F contains Q as subfield.
: 我覺得作者弄得我好亂阿，我在想是不是我根本沒搞懂作者的意思，
: 煩請各位解惑

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.33.26.34
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1523510766.A.6F2.html
→ LPH66       : 他的 Q* 應該不是無理數喔, 是用 dedekind cut 切點
→ LPH66       : 定義出來的 R 的 subfield
→ chemmachine : 原來如此，我寫的Q*都是無理數，那它另有脈絡。
推 Vulpix      : measure zero那句是錯的，cantor dust也是measure
→ Vulpix      : zero但跟R一樣多。
→ Vulpix      : 更正：Cantor set。Dust不只分佈在直線上。
→ chemmachine : 感謝v大更正，measure不能比集合大小，要用1-1 bij-
→ chemmachine : ection
推 Vulpix      : R和Q的order可以定到很接近，事實上可以證明Q→Q*
→ Vulpix      : 這個isomorphism是嚴格保序的。