[分析] 實數的十進小數表示

[pentiumevo (數學系最不靈光的人)]

最近讀Lax的微積分，對於其中談的實數的十進小數表示(p.12)略有疑惑。

作者說對於數線上任意點a，都能找到整數n使得
n ≦a<n+1.
於是再將此區間[n, n+1)分割為十等份，然後必存在正整數alpha_1使得
n+(alpha_1)/10≦a<n+(alpha_1 + 1)/10.
此時就定義a的小數第一位數字為alpha_1。

仿此步驟，可以定出a的無限小數表示。

但是在該頁下方，作者寫道「the method we described for representing numbers as in

例如
a∈[0, 1)
a∈[0.9, 1)
a∈[0.99, 1)
...
無限下去，那這樣按著前面所說決定小數位值的方法，不就可以寫出
a=0.999...
了嗎？

當然我知道上面那個區間套是沒有共同點的，但是如果只是按著書上的做法，我得不出他所

不知道是哪邊想錯了，還請各位朋友指教，謝謝。
http://i.imgur.com/1tSX5yc.jpg

-----
Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z01KD.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.9.195.33
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1523549125.A.8AA.html
推 arthurduh1  : 因為 1 在這個切割法裡面, 會被切成 1.0000000...
→ arthurduh1  : 而不是 0.99999...
→ pentiumevo  : 如果我一開始就知道a=1，這樣就不會有a∈[0, 1)，是
→ pentiumevo  : 吧？
→ yyc2008     : 都已經說是,1)了 哪裡會包含1? 而且你文中a很奇怪只
→ yyc2008     : 出現一次 根本沒有寫出a和[n,n+1)之間的關係
不好意思，手機打字好像怪怪的。已修改，謝謝提醒。

→ pentiumevo  : 我疑惑的是書上那樣的構造法，我沒辦法一開始就判斷
→ pentiumevo  : 出不存在那樣的小數。關於1=0.999...這件事，他是在
→ pentiumevo  : p.13才寫的。
※ 編輯: pentiumevo (101.9.195.33), 04/13/2018 00:28:45
※ 編輯: pentiumevo (101.9.195.33), 04/13/2018 00:30:04
※ 編輯: pentiumevo (101.9.195.33), 04/13/2018 00:31:09
→ yyc2008     : 應該是說這種0.999..表示法無法和1.000..畫上等號
→ yyc2008     : 0.999..永遠靠近所取最小區間中的右開區點
→ yyc2008     : 既然是又開區點 按照 a < n+(alpha+1)/10^k的關係式
→ yyc2008     : 就覺不會是那個點 反觀1.0000滿足左閉區間端點
→ yyc2008     : 所以這種表示法 有1.0000... 沒有0.999...的表示法
→ arthurduh1  : 這個切割法是你要給我一個確切的「點」, 然後依照
→ arthurduh1  : 所述把這個點用一個數列表示
→ arthurduh1  : 問題是你找不到一個點使得切出來的數列是09999...
→ recorriendo : 那樣的a就不存在  寫正式一點 "不存在a 使得對於所
→ arthurduh1  : 舉個極端例子, 現在有兩個籃子, 分別叫 A, B
→ arthurduh1  : 你在其中一個裡面放一顆球, 然後把這狀態用一個數列
→ arthurduh1  : 表示, 方法是: 球在 A 的話, 第一個數是 0, 反之是1
→ arthurduh1  : 接著球在 A 的話, 第二個數是 0, 反之是1
→ arthurduh1  : 每個位數都是用一模一樣的方法決定
→ arthurduh1  : 所以你只會有 000... 和 111... 這兩種
→ arthurduh1  : 而你的論述搬到這裡就變成: 那為什麼沒有 010101...
→ recorriendo : 有n 恆有1-10^(-n)≦a<1" 證明不難應該自己弄得出來
→ arthurduh1  : 這個數列? 因為你把主體搞錯了
→ APM99       : 那些集合交集非空你才寫得出來a=0.999..