[機統] E[g(x)] ≠ g[E(x)]

[gamlty99 (548+9)]

如題

只有在 g 是linear transformation時等號才會成立

請問要怎麼檢驗 g 是不是線性變換?

例如

E[aX+b] = aE[X] + b 是線性變換

E[1/X] ≠ 1/E[X] 不是線性變換


謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.34.112.229
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推 goshfju     : 你寫的東西蠻多瑕疵的
→ goshfju     : 你的判斷方式本身就有問題了
→ goshfju     : 用泰勒展開式可證明 E(1/X) < 1/E(X) ; X=/=0
抱歉不知道要怎麼表達才正確

主要是想問 g(x) = ax+b 這樣是線性變換

但取倒數 g(x) = 1 / x 這樣不是線性變換

謝謝
※ 編輯: gamlty99 (1.34.112.229), 04/13/2018 00:41:03
推 goshfju     : g(x)=ax+b 就是你說的線性轉換吧 不是那種形式的就
→ goshfju     : 不是 不過不太懂為何你執著於判斷那個
→ goshfju     : 在 g 是linear transformation時,等號會成立
→ goshfju     : 沒有 "才"
→ goshfju     : 也就是你判斷等號不成立時,不宜用他不是線性轉換
→ goshfju     : 就說等號不會成立
推 LPH66       : 應該這樣說, 正確推論是「線性轉換→等號成立」
→ LPH66       : 你想判斷「等號不成立」是不能由「非線性轉換」推來
→ LPH66       : 「若 p 則 q」成立不能說「若非 p 則非 q」也成立
推 antry7623   : 我想他的問題只是很單純問"如何判斷一個mapping是線
→ antry7623   : 性轉換?"
→ antry7623   : https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E7%BA%BF%E6%80
→ antry7623   : %A7%E6%98%A0%E5%B0%84
推 yangs0618   : g(ax+b)=g(ax)+g(b) for all a b
推 ruj9vul3    : G(ax+b)=aG(x)+b 吧
→ doom8199    : g: x -> ax+b with b≠0, 這個叫 affine transform
→ doom8199    : 不是 linear transform
先謝謝各位

g(ax) = 1 / ax ≠ ag(x) = a/x 所以取倒數不滿足齊次性,這樣對嗎?

另外google了一下仿射 所以如doom8199所說 加上平移後就不是線性變換

g(ax) = a(ax) + b ≠ ag(x) = a(ax+b),  if b≠0

最後想請問那要如何判斷

g跟取expectation 在什麼時候可以互換, 謝謝
※ 編輯: gamlty99 (1.34.112.229), 04/13/2018 17:09:39
推 Desperato   : 只有線性轉換可互換 其他情況有也是巧合吧
→ Desperato   : 可以參考Jensen inequality, convex是關鍵
→ yhliu       : 單變量函數而言, "linear" 在線性代數上指 g(x)=ax,
→ yhliu       : 在幾何上指 g(x) =ax+b. E[g(X)] = g(E(X)) 適用於
→ yhliu       : 後者, 即 g(x)=ax+b 時E[g(X)] = g(E[X]). 但反之,
→ yhliu       : E[g(X)] = g(E[X]) 不保証 g(x) = ax+b.