[微積]以ε-δ程序證明 lim_(x->1) [x/(2x+3)]=1/5

[norgthas (norgthas)]

題: 以ε-δ程序證明 lim_(x->1) [x/2x+3)]=1/5

解答作法:

(1)對ε>0, 找到δ>0, 使得當0<|x-1|<δ,

有|[x/(2x+3)]-1/5]|<ε

(2)由|[x/(2x+3)]-1/5]=3/5|(x-1)/(2x+3)|<ε

若限制0<|x-1|<1=> 0<x<2

取x=0代入上式之分母得3/5|(x-1)/(0+3)|=1/5|x-1|<ε

取δ=δ(x)=5ε, 則當δ=min{1, 5ε}

必有|x/(2x+3)-1/5|<ε
__________________________________________
這就是完整的題目跟解答了

我不懂的是對於將|x-1|限制於0和1之間的行為動機以及依據的觀念,

為什麼是限制在小於1?

因為其他題目解答的解題過程中都沒有加上這樣的限制

更準確地說, 一定要是1嗎?
如果是0.000000.1呢? 根據定義只要大於0, 我愛代哪個數都可以對吧是嗎?

接著

雖然說照著解答上這樣以這條限制去帶入解題確實找出了δ=δ(ε)

"取x=0代入分母得3/5|(x-1)/0+3|=1/5|x-1|<ε

取δ=δ(ε)=5ε, 則當δ=min{1, 5ε}, 必有|x/(2x+3)-1/5|<5ε"

Q.2 特別挑0代入是為了變出後面的|x-1|嗎?

而可以只代入分母保留分子x-1這手法我也是第一次知道

這題把我對極限的觀念跟想法搞得好亂啊

請問 跪求解惑
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.77.126.75
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1523699873.A.6B8.html
※ 編輯: norgthas (42.77.126.75), 04/14/2018 17:58:30
推 AppleOuO    : 這是書上的範例吧!?
→ AppleOuO    : 抱歉 看不太懂也無心想去了解 你的限制那裡
推 i0938652728 : 方便給原題嗎？？
→ AppleOuO    : 由|x/(2x+3)-1/5|=3/5|x-1|<ε不就可知當δ=5/3ε..
→ AppleOuO    : 然後就證明完了
→ AppleOuO    : 嗎 不是嗎
推 AppleOuO    : 更正：當->取
更正發文
※ 編輯: norgthas (42.77.126.75), 04/14/2018 20:14:17
→ wohtp       : 對於第一個問題：極限的精神在epsilon和delta要多小
→ wohtp       : 就有多小，至於delta不算小的時候會怎樣我們根本不
→ wohtp       : 管。
→ wohtp       : 換句話說，就是|x-1| > 1的部分跟你要的極限八竿子
→ wohtp       : 打不著關係，我直接不理他也沒差。
推 wohtp       : 那你可不可以切在 |x-1|= 0.00001的地方？
→ wohtp       : 那也沒什麼不可以啊。只要是固定的有限距離，在你不
→ wohtp       : 斷趨近的過程，遲早都會變成離開x=1很遠所以跟極限
→ wohtp       : 無關。
→ wohtp       : 如果在證明裡需要切，一般都是挑個方便計算的範圍
→ wohtp       : 例如這題。
推 AppleOuO    : 請問這是 書上的範例還是書上的習題跟解答呢
劉明昌老師的微積分書上的例題, 我漏打了一些東西, 本文已修正
→ AppleOuO    : Example or Exercise?
→ AppleOuO    : 還是 是你們助教或老師 自己手寫給的 解答呢
推 znmkhxrw    : 你是不是問為什麼可以x=0帶入
是的, 而且只代入分母而使得分子為|x-1|這手法我看不太懂說, 好像跟我以前學的計算觀念不太一樣
※ 編輯: norgthas (42.77.126.75), 04/14/2018 21:03:37
※ 編輯: norgthas (42.77.126.75), 04/14/2018 21:07:07
→ AppleOuO    : sorry 我前面19:45~19:49推文  我以為通分就找得到
→ AppleOuO    : 害你誤會 Sorry
推 znmkhxrw    : 那句令x=0代入分母我完全不敢恭維...雖然證法是可以
→ znmkhxrw    : 導到同樣一步, 但那句話會讓人誤會啦
推 znmkhxrw    : 你不要看x=0代入, 然後想一想給x一個固定限制條件
→ znmkhxrw    : 的合理性(為什麼可以這樣), 反正一切都合定義
推 mtoao0122   : 挑0代入是因為這樣δ算出來最小，當誤差ε小於5時，
→ mtoao0122   : 能確保你所取δ小於這個誤差ε，否則就會不符合定義
→ mtoao0122   : 更正 ε小於1/5
→ mtoao0122   : 也就是說，當誤差ε比1/5來得大時，只要取δ=1即可
→ mtoao0122   : 滿足定義，但ε比1/5小的時候，就必須取δ=5ε才能
→ mtoao0122   : 滿足定義，這樣子就已經證明了對於所有的ε，皆能
→ mtoao0122   : 找到相對應的δ使得函數值與極限值誤差小於ε
→ norgthas    : 已解 真的很謝謝大家
→ norgthas    : https://i.imgur.com/Tm18FTu.jpg