推 norgthas : 感謝原文推文的各位還有這篇回文解答了我一直想不 04/15 12:51
→ norgthas : 通的疑惑 04/15 12:51
推 norgthas : 會了 謝謝 04/22 11:06
※ 引述《norgthas (norgthas)》之銘言：
: 解答作法:
: (1)對ε>0, 找到δ>0, 使得當0<|x-1|<δ,
: 有|[x/(2x+3)]-1/5]|<ε
: (2)由|[x/(2x+3)]-1/5]=3/5|(x-1)/(2x+3)|<ε
: 若限制0<|x-1|<1=> 0<x<2
: 取x=0代入上式之分母得3/5|(x-1)/(0+3)|=1/5|x-1|<ε
: 取δ=δ(x)=5ε, 則當δ=min{1, 5ε}
: 必有|x/(2x+3)-1/5|<ε
: __________________________________________
: 這就是完整的題目跟解答了
: 我不懂的是對於將|x-1|限制於0和1之間的行為動機以及依據的觀念,
: 為什麼是限制在小於1?
: 因為其他題目解答的解題過程中都沒有加上這樣的限制
: 更準確地說, 一定要是1嗎?
: 如果是0.000000.1呢? 根據定義只要大於0, 我愛代哪個數都可以對吧是嗎?
: 接著
: 雖然說照著解答上這樣以這條限制去帶入解題確實找出了δ=δ(ε)
: "取x=0代入分母得3/5|(x-1)/0+3|=1/5|x-1|<ε
: 取δ=δ(ε)=5ε, 則當δ=min{1, 5ε}, 必有|x/(2x+3)-1/5|<5ε"
: Q.2 特別挑0代入是為了變出後面的|x-1|嗎?
: 而可以只代入分母保留分子x-1這手法我也是第一次知道
用"比較邏輯"一點的寫法是這樣
取δ=min{1, 5ε},則
0<|x-1|<δ → 0<|x-1|<1 & 0<|x-1|<5ε → 0<|x-1|<1 → 0<x<2
→ 3<2x+3<7 → 1/7 <1/(2x+3)< 1/3
→|x/(2x+3) - 1/5|=(3/5)|x-1|/|2x+3|<(1/5)|x-1|
又 0<|x-1|<5ε → (1/5)|x-1| < ε
因此 0<|x-1|<δ → |x/(2x+3) - 1/5| < ε
這樣就沒有x=0帶入的問題
另一個問題, δ當然不一定要用1限制, 用0.000001也可以
取δ=min{0.000001, 5ε},則
0<|x-1|<δ → 0<|x-1|<0.000001 & 0<|x-1|<5ε → 0<|x-1|<0.000001
→ 0.999999<x<1.000001 → 4.999998<2x+3<5.000002
→ 1/5.000002 <1/(2x+3)< 1/4.999998 < 1/3
→|x/(2x+3) - 1/5|=(3/5)|x-1|/|2x+3|<(1/5)|x-1|
又 0<|x-1|<5ε → (1/5)|x-1| < ε
因此 0<|x-1|<δ → |x/(2x+3) - 1/5| < ε
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.238.93.126
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1523719425.A.66B.html