相乘極限提出問題

[gout005 (Alex)]

https://i.imgur.com/eVsI46S.jpg
第六題
僅看這個解答步驟即可
中間有一步把e^x消掉了
他是不是因為e^x這個極限值等於1所以省略不寫？
那為什麼可以這樣做

不是要各別極限存在才能提出來變成極限乘極限嗎

左邊那坨是0/0怎麼知道存不存在呢？

還請大家幫忙謝謝～
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→ keith291    : 邏輯上是有問題的  應該先確定不定型之極限存在再拆
→ gout005     : 所以這樣是錯的嗎?那該怎麼寫比較好呢
→ gout005     : https://i.imgur.com/tMeBpKm.jpg
→ gout005     : 這邊第六題也是相同手法
推 LPH66       : 我覺得這裡是一種"簡寫", 前面能拆開的理由是之後
→ LPH66       : 求有問題的部份時有求出值來, 不過因為這樣的關係
→ LPH66       : 會有一個誤區是當後面沒求出值來時 (發散或不存在)
→ LPH66       : 前面的拆開就不能成立
→ LPH66       : 要嚴謹一點寫的話就是另立一行算有問題的部份
→ LPH66       : 算完之後再回到原式寫成拆開的乘積再繼續
→ keith291    : 就是先射箭再畫靶啊  明明還沒解到後面怎可默認極限
→ keith291    : 存在  應該先計算不確定的極限  存在後再拆開
→ LPH66       : 其實應用羅比達定理本身也有這種簡寫的味道在
→ LPH66       : 因為羅比達的大前提是上下微分後比值的極限存在
→ LPH66       : 直接一行寫下去其實也是一樣的狀況, 後面算出了值
→ LPH66       : 來 justify 前面的應用定理
→ LPH66       : 因此這裡也有同樣的問題, 微完沒算出值時不能用
→ gout005     : 所以只要後面算得出值 這個值就是對的嗎？這樣子就
→ gout005     : 不用管拆開極限是否合理了？
→ gout005     :  假設值算出來不存在 就表示前面有問題？