[其他] ZF集合論的正則公設 2000p

[znmkhxrw (QQ)]

wiki中給的ZF-正則公設寫道：

Every non-empty set x contains a member y such that x and y are disjoint sets.

第一眼看到馬上就有疑惑，為什麼元素(element, or member)可以跟set進行交集

google後發現有一致的解釋是：

(1) 在ZF系統下所有元素都是集合

(2) 0 = ψ
    1 = {0}
    2 = {0,1}
    ...

所以例如 S:={1} 是合乎正則公設的，因為{1}∩1 ={{ψ}} ∩ {ψ} = ψ

但馬上就有下列問題

(a) 如果S:={蘋果,香蕉}呢？要先定義何謂蘋果,香蕉？

    抑或是S不是在ZF系統下所以無法判別？

    抑或是可以把蘋果當成一個集合？那是什麼？

(b) "在ZF系統下所有元素都是集合"這句話的完整性？

    即under ZF system, 任給一個非空集合 S, 則S中任何元素都是集合

    因此 C[0,1] 這種連續函數所成的集合不算ZF系統的集合？

    還是 sinx這個元素€C[0,1]，把sinx當成集合？how？

   （但是sinx絕對不是{sinx}）

(c) 嚴格來說，在論證 "不存在非空集合 S使得 S={S}" 時

    不僅需要正則公設，也需要S是ZF系統下的集合當作前提？

    即 ZF系統的非空集合S + ZF公設 => S={S}不可能發生

(d) 集合分成兩種，一種是ZF系統下的集合，一種不是？

    可是那ZF系統那九條公設只規範了ZF系統的集合？

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昨天看到了羅素悖論才去翻公設(不過悖論是被分類公設(specification)解決)

...以前完全沒想要要去碰這塊QQ

問題有點零碎，感覺像是某個中心思想沒碰到

請指教~提供詳細解釋的2000p奉上~感謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.52.37
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1524109583.A.E2D.html
推 LPH66       : "ZF 的所有東西都是集合" 這是最大最大的大前提
→ LPH66       : 或者應該說 ZF 所討論的東西就只是集合
→ LPH66       : 那不管是蘋果香蕉還是 C[0,1] sinx 都要先給出定義
→ LPH66       : 至於 (d), 正則公理其實就是把一些不太像 "ZF 集合"
→ LPH66       : 的東西給排除在討論範圍之外
→ LPH66       : 關於這些東西可以去看 NBG 集合論, 那邊有個名詞叫
→ LPH66       : "類 (class)" 指稱它討論的東西
→ LPH66       : 這種不像集合的東西在那裡叫 "真類 (proper class)"
所以照邏輯來說 C[0,1]在沒有定義成集合的集合(也就是說 sinx只是元素) 的狀況下

不能說C[0,1]會有ZF滿足那九條公設 因為C[0,1]不是ZF集合？

推 arthurduh1  : 函數也可以定義成集合(從graph發想)
沒特別定的話 C[0,1]就跟ZF八竿子打不著??
※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 04/19/2018 20:45:58
推 arthurduh1  : 沒特別定的話, 1 也不等於 {0}, 也不在ZF裡啊