: 推 LPH66 : "ZF 的所有東西都是集合" 這是最大最大的大前提 04/19 13:51
: → LPH66 : 或者應該說 ZF 所討論的東西就只是集合 04/19 13:52
: → LPH66 : 那不管是蘋果香蕉還是 C[0,1] sinx 都要先給出定義 04/19 13:56
: → LPH66 : 至於 (d), 正則公理其實就是把一些不太像 "ZF 集合" 04/19 14:02
: → LPH66 : 的東西給排除在討論範圍之外 04/19 14:02
: → LPH66 : 關於這些東西可以去看 NBG 集合論, 那邊有個名詞叫 04/19 14:03
: → LPH66 : "類 (class)" 指稱它討論的東西 04/19 14:05
: → LPH66 : 這種不像集合的東西在那裡叫 "真類 (proper class)" 04/19 14:06
: 所以照邏輯來說 C[0,1]在沒有定義成集合的集合(也就是說 sinx只是元素) 的狀況下
: 不能說C[0,1]會有ZF滿足那九條公設 因為C[0,1]不是ZF集合？
其實這有點微妙
集合論想要做的事情之一就是為數學打底
集合論的基本語言只有"集合"和集合之間的"屬於"關係兩個詞
我們可以從這兩個單純的概念以及命題邏輯把所有數學概念給建構出來
例如你所查到的 0 := {}, 1 := {0}, 2 := {0,1} 等等
這一串是非負整數的一種定義 (叫做馮紐曼序數定義)
由於它是一組滿足皮亞諾算術公理的定義
所以我們可以從這裡利用皮亞諾公理定義運算的方式定義加、乘、等等運算
有了這些運算我們可以往上繼續定義出有理數、實數
沿著這樣的路線繼續類推下去
我們就能得到例如 C[0,1] 這個東西的集合論定義
雖然它的描述可能會用到許多中間過程中我們定義的概念或符號
但一路展開下去它最終其實仍然是一個集合論所討論的集合
所以要問 C[0,1] 是不是 ZF 集合? 在有這中間這些定義之下它確實是
只是大概很難寫得出詳細是個怎樣的集合就是了
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ZF 的出現其實還是跟羅素悖論有關
詳情就回去讀你找到的資料
總之 ZF 這樣定義就是為了把羅素悖論裡的那玩意以及和它類似的東西劃條線隔開
(用的就是你在問的正則公理;
我推文說的"不像 ZF 集合的東西"就是指這些被隔開的東西)
這是因為不考慮那些奇怪東西並不會對上面已經蓋好的這一大串定義鏈造成問題
(有人說羅素悖論造成第三次數學危機
講的就是最早的樸素集合論會有羅素悖論這種鬼東西
使得試著把所有數學建構在集合論上的嘗試出現了根本性的問題)
那當然也就有想要正面解決這問題的嘗試, 其中之一就是我提的 NBG 公理體系
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'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513
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