Re: [其他] ZF集合論的正則公設 2000p

[ERT312 (312)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: ※ 引述《ERT312 (312)》之銘言：
: : 標題: Re: [其他] ZF集合論的正則公設 2000p
: : 時間: Fri Apr 20 00:39:50 2018
: : V的意思是這樣沒錯
: : 但因為每次都要這樣寫一次很煩
: : 所以就簡寫成V:= {f(x)│x€A}
: : 集合論裡面把函數定義成某三個集合的有序列<f,A,B>
: : 並滿足
: : 1.f是A×B的子集
: : 2.for all x belongs to A, there exists y in B, such that (x,y) belongs to f
: : 3.If (x,y1) and (x,y2) are both in f,then y1=y2
: : 習慣上我們把<f,A,B>記為 f:A→B
: : 寫成<f,A,B>只是要強調集合論真的可以討論函數
: : 就像把ordered pair (a,b)寫成{{a},{a,b}}依樣
: : 而y=f(x)則是(x,y) belongs to f的簡寫
: : 之所以可以這樣寫是因為上面第3點,y唯一
: : 最後就乾脆把值域寫成V:= {f(x)│x€A}
: : --
: 謝謝E大回答~關於你寫的有三點我想討論:
: (1) 以公設角度來看，我會覺得V:= {f(x)│x€A}不嚴謹並不是因為你的第3點
:     你第3點應該就是一般函數定義的well-defined，而今天就算函數well-defined
:     V:= {f(x)│x€A} 也不一定存在，因為沒人確保它存在
:     雖然這V很直觀，就是把每個x丟入f，產生出f(x)就丟進這集合
:     即是 "收集所有函數值的集合" 但是羅素悖論就是直觀的敘述卻導致矛盾
:     我才會有 "除非是{f(a_1),...f(a_n)}這種明顯寫出的 or 分類公理確保的"
:     否則我都不會100%保證我寫的出來就一定存在
值域的這種寫法與第3點無關呀
我提到第3點是指y=f(x)的寫法,我們希望f(x)單值
如B裡面所有元素的pre-images所成的集合寫成 {x€A|f(x)€B}
pre-image不唯一,也是這樣寫
這些集合的存在性都有Axiom schema of specification保證
存在性是沒問題的
至於寫法我是覺得能簡絜就盡量不要拖泥帶水
看你用什麼角度看
若要求用一階邏輯語言的寫法
這兩個寫法都不是
: (2) 你把一般函數全部都轉成(等價)集合形式太棒拉！
:     所以我可以說 當任給f：A→B時，其實A,B就自然是ZF集合了？
:     接著 <f,A,B> 就是你構造的那樣
這是Pinter的定義方式,本板首篇那本書
其實Pinter的寫法是NBG系統的,不是ZF系統
f,A,B是classes,比sets更廣
: (3)
: 最後，其實我最想要的結果是：
: 從我學數學以來遇到的集合都是ZF集合(或是等價)，都滿足ZF公設
: 那這樣我就滿足了...只是這句話應該只有...99%對?
: L大提的 von Neumann–Bernays–Gödel set theory好像有更廣分類XD
只要你一聽到集合,就代表它不會大到如 proper calsses 一樣
但是不是指ZF系統的集合則不一定
因為還有其他不同的理論
如Non-well-founded set theory
這個理論裡面Axiom of regularity是錯的
裡面存在有在ZFC裡面不存在的集合

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推 znmkhxrw    : 了解了! 感謝!