[微積] 由二次微分是否常數判斷二次函數是否可行

[alan23273850 (God of Computer Science)]

各位板友大家好，打給厚，胎嘎後，こんにちは，Good Afternoon：

小弟這學期接了一門微積分改考卷助教，發現有一個很有趣的問題以前從沒注意過。

直接破題好了，想問問可否從二次微分為常數的這個特性判斷曲線是否為二次函數。

以 y = ax^2 + bx + c 來說，二次微分為 y'' = 2a，那麼只要當 a 不為 0 時就是

二次函數，但是如果是在三度空間呢？是不是依然可以從參數式的微分為常數判斷？

以 r(t) = (t, kt^2, kt^2 - t) 來說，r''(t) = (0, 2k, 2k)，k 不為 0，那麼就可以

直接說 r(t) 在三度空間中是一個拋物線？

If ok, how to prove it? (是不是可以從物理學的拋物現象解釋？)

這樣就不用再對參數式旋轉成平面再配成 y = ax^2 + bx + c 的樣子了。

是不是既方便又有趣呢？

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→ startlequiet: 1080的兩倍是3160好嗎..你數學實在...
推 alwaysOGC: 1F的數學老斯請假了嗎?
推 storyf66014: 一樓的數學讓我好shack  XD
→ ascii: 太酷了 推文裡面不只數學、國文老師請假 連英文老師都出國了
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.140.61.132
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1524808638.A.C37.html
推 znmkhxrw    : 你已經"假設"所選參數式必落在R^3的平面上嗎??
→ znmkhxrw    : f(x)是否為二次函數有它的定義 但是三維中r(t)
→ znmkhxrw    : 是否為二次函數 你的定義是??
→ znmkhxrw    : 假設存在某個rotation使得他可以寫成f(x)???
→ alan23273850: 感謝高微大大，我就是這個意思！
→ alan23273850: r(t) 本來就落在平面上，但我不確定可否這樣判斷
很多學生因為要用到三維曲率外積公式，都讓曲線落到三維，我不知道要怎麼給分
不太清楚 parabola 在立體空間是否有定義，我應該把他們判定成是錯的嗎？
※ 編輯: alan23273850 (223.140.61.132), 04/27/2018 14:34:46
→ ilway25     : 題外話 how to prove it 不是正確的英文句子喔
推 znmkhxrw    : 他們落到三維是把f(x)寫成 r(t) = (t,f(t),0) 嗎??
→ znmkhxrw    : 題外話 如果你第一次當助教 遇到學生答案似是而非時
→ znmkhxrw    : 負責任的選擇基本上有兩種
→ znmkhxrw    : CaseI：你沒啥時間 → 撇掉然後寫說你證給我你的
→ znmkhxrw    : 答案跟題目的答案是等價的 我就加回來
→ znmkhxrw    : CaseII：你有時間也有興趣 → 自己證是否等價
→ znmkhxrw    : 等價的話給他對 然後看trival與否 要不要跟他提一下
→ znmkhxrw    : 不等價就給他錯 旁邊寫個反例
→ znmkhxrw    : 不過caseII最耗時的地方是證不出來對的也找不到反例
→ znmkhxrw    : 所以CaseI最輕鬆XDDD
→ alan23273850: 我指的落到三維是內文舉的例子，不知要算對還是錯
→ alan23273850: 如果按照des大大的說明，應該要給全對
→ alan23273850: 當然也有你講的那個例子，可是那個沒啥疑慮
推 znmkhxrw    : ok