Re: [微積] 由二次微分是否常數判斷二次函數是否可行

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之銘言：
: 各位板友大家好，打給厚，胎嘎後，こんにちは，Good Afternoon：
: 小弟這學期接了一門微積分改考卷助教，發現有一個很有趣的問題以前從沒注意過。
: 直接破題好了，想問問可否從二次微分為常數的這個特性判斷曲線是否為二次函數。
: 以 y = ax^2 + bx + c 來說，二次微分為 y'' = 2a，那麼只要當 a 不為 0 時就是
: 二次函數，但是如果是在三度空間呢？是不是依然可以從參數式的微分為常數判斷？
: 以 r(t) = (t, kt^2, kt^2 - t) 來說，r''(t) = (0, 2k, 2k)，k 不為 0，那麼就可以
: 直接說 r(t) 在三度空間中是一個拋物線？
: If ok, how to prove it? (是不是可以從物理學的拋物現象解釋？)
: 這樣就不用再對參數式旋轉成平面再配成 y = ax^2 + bx + c 的樣子了。
: 是不是既方便又有趣呢？

其實可以直接積分就好

設 r''(t) = a,  nonzero constant

初始條件 r'(0)  = v0
         r(0)   = x0

則積分得到 r'(t) = v0 + a t
再積分得到 r(t) = x0 + v0 t + (1/2) a t^2

(1) 若 v0 // a 則 r(t) 的軌跡為方向向量 a, 通過 x0 的一直線

(2) 若否 則 r(t) 整個落在法向量 n = v0 x a, 通過 x0 的平面上
    令 a 方向為 y 軸, a x n 方向為 x 軸, 可得一開口朝上的拋物線
    (此時 n 方向會是 z 軸)

按照符號基本可以得到物理學的解釋
其實也是直接按照物理學上的解法會比較好解


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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.32
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※ 編輯: Desperato (140.112.25.32), 04/27/2018 14:59:28
推 alan23273850: 太感謝惹，通篇清楚明瞭，板上真的很多很厲害的大大
→ alan23273850: 這問題我真的以前從沒想過
→ alan23273850: BTW我最近很窮，P幣可能要等我未來飛黃騰達才有機會
→ wohtp       : 提醒原原po一下，這個不可以反過來用喔
→ wohtp       : 隨便換個參數就可以把二次微分變成非常數了
推 alan23273850: 想請問wohtp大大是否有具體反例呢
→ alan23273850: 哦哦我想到了，那應該是跟 "參數" 的特性有關
→ alan23273850: (x, y) = (x, x^2) = (t^3, 2t^6) 應該是很好的例子
→ alan23273850: 感謝 wohtp 大大提醒
→ rdiodul     : 這樣x和y的關係不是一樣是2次曲線嗎？
→ rdiodul     : 應該是要和原來x做比較吧？
→ rdiodul     : 不好意思我搞錯了。。。
→ rdiodul     : 對x微分 和對t微分是不一樣的
→ rdiodul     : 判斷是否二次函數的條件是否是  存在函數f(t)使得r
→ rdiodul     : 對f二次微分為常數  呢？
推 alan23273850: 感謝樓上大大重新再次定義問題，解答就交給其他板
→ alan23273850: 友了，我的考卷都改完了XD