[分析] 關於open cover和compact的幾個問題

[annboy (BlueGun)]

本文是關於

Rudin,Principle of Mathematical Analysis

書中Chap.2裡Definition 2.31 , Definition 2.32 , Theorem 2.33中的幾個問題。



為避免翻譯和文法造成的誤解，問題以英文描述:

(1)

Suppose E is a subset of a metric space X .

Does (every) E have an open cover ?

(2)

Assume the answer of (1) is NO.

If E  has no open cover , can we say that E is compact ?

(3)

Suppose K is compact relative to X.

Does (every) K have an open cover ?

(4)

In the proof of Theorem 2.33 , does the collection {Vα} (definitely) exist ?




以上疑問是來自於Definition 2.33的敘述:

"A subset K of a metric space is said to be compact if

every open cover of K contains a finite subcover . "

但如果 K 根本沒有 open cover 呢?

我翻了翻此處的前後，似乎沒有關於open cover存在性的證明。

邏輯上來說，如果K沒有open cover ， 那這個定義好像變得無意義。





另外一個疑點就是Theorem 2.33證明中定義的{Vα}。

不知道

"‧‧‧, and let {Vα} ‧‧‧"

這樣子的描述是不是已經意涵"假設{Vα}存在" ?





以上問題，感謝。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.13.191.65
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推 Desperato   : given metric space X, X is open, thus E always
→ Desperato   :  has an open cover X
感謝，查了一下才發現有
"Metric space is open in itself."
這個定理。我翻了一下Rudin書中好像沒有提及這個定理就是了。
※ 編輯: annboy (101.13.191.65), 04/28/2018 16:17:00
推 Desperato   : 這應該很明顯吧XD 雖然有時候會忘掉
→ Desperato   : 其實按照邏輯 (2)的答案會是 Yes
→ Desperato   : 然後Rudin應該有說過 compact不需要relative
盲點在於所有的points都是指X的elements這件事。
意識到這一點之後真的蠻明顯的Orz。
relative可以拿掉好像是Theorem 2.33之後的事情，還在努力QQ。
(2)的話，我想可以同時是YES也是NO，不過(1)是YES之後就變成沒意義的討論了。
※ 編輯: annboy (101.13.191.65), 04/28/2018 18:44:19
推 yangs0618   : Rudin好像有全空間是開的
慚愧慚愧，我一直想說在習題裡面找了老半天，結果是在本文中一個括號裡一句話就帶過
了Orz。
※ 編輯: annboy (101.13.191.65), 04/29/2018 11:23:54
→ alfadick    : 怎這年頭還有人讀Rudin