推 hau : 謝謝！！這解厲害。 05/03 22:32
※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 設 a,b 皆為實數，
: 已知：a^3 - 3a^2 + 5a = 1 ， b^3 - 3b^2 + 5b = 5
: 求出 (a+b)^5 + 3(a+b) - 26 之值.
令 f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x = (x-1)^3 + 2(x-1) + 3
由此形式易知 f(x) 是個嚴格遞增函數
(因為 (x-1)^3 和 (x-1) 都是嚴格遞增函數, 而 3 是常數函數)
若令 a = 1-t, 則有 f(a) = f(1-t) = -t^3 - 2t + 3 = 1, t^3 + 2t = 2
於是 f(1+t) = t^3 + 2t + 3 = 5 = f(b), 由嚴格遞增性知 b = 1+t
這樣就有 a+b = 2, 原式 = 2^5 + 3(2) - 26 = 12 #
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這題數字是設計成正好在 f(x) 這條三次函數的反曲點 (1,3) 兩邊等距
加上 f(x) 的嚴格遞增性所以 a b 都可以限定在唯一實數解
因此重點就是要證明由 1 5 在 3 的兩邊等距可以推得 a b 在 1 的兩邊等距
這樣就能推出關鍵的 a+b = 2, 後面就容易了
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'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
-- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308
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