[代數] divisor of split poly is split

[znmkhxrw (QQ)]

想問一下這個"顯然"的題目怎麼證：

令f(x)為n(>=1)次split多項式，即f(x) = a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k

where m_1+...+m_k = n, {x_1,...,x_k} distinct

若 f(x) = p(x)*q(x) , where p(x), q(x)都是多項式

則p跟q也會是split

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目前是用很蠢的方法一個一個拆，如下：

因為f(x_1) = 0 <=> p(x_1)*q(x_1) = 0

所以 p(x_1) or q(x_1) = 0

因此 p(x)*q(x) = (x-x_1)*p_1(x)*q_1(x), where p_1(x) = p(x) or q_1(x) = q(x)
                                        ( 取決於是p(x_1)還是q(x_1)=0 )

and deg(p_1)+deg(q_1) = deg(p) + deg(q) -1


再來，回到f(x)，我們有 a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k = (x-x_1)*p_1(x)*q_1(x)

因此得到 a(x-x_1)^(m_1-1)*...*(x-x_k)^m_k = p_1(x)*q_1(x)

總之拆完就對了

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還是說，嚴格的方法就是這個+數學歸納法??

謝謝指教~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.52.37
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1525664656.A.2D4.html
→ forget0309  : 如果p(x)有一個不是split的因式g(x)，則g(x)|f(x)
→ forget0309  : （因為p(x)|f(x))這就矛盾了
你是指 假設p(x)不split，則有一個不split的因式g(x)，所以得出g(x)│f(x) 矛盾？

這推論不就跟：

假設p(x)不split，則因為p(x)使p(x)的一個不split的因式，所以p(x)│f(x) 矛盾

但這不就是想證的東西嗎@@?

→ mike50378   : 對啊，所以反面看就很"顯然"
推 alan23273850: 如果 p 和 q 其中一個不 split，乘起來當然不 split
推 forget0309  : 我低估題目了……要講清楚的話要用到UFD的性質(雖
→ forget0309  : 然原po沒提但我相信應該是over field)做法就是拿p(
→ forget0309  : x)q(x)去跟f splits後的結果去做比較 然後就可以得
→ forget0309  : 到p(x) splits
我的問題好像在於高中認為理所當然的事情...這就是UFD嗎??

若 p(x)│a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k

則 p(x) = b(x-x_1)^n_1*...*(x-x_k)^n_k , where 0<=n_k<=m_k

這高中認為理所當然 沒去想過為什麼XDD 難怪現在會卡住QQ
※ 編輯: znmkhxrw (210.242.52.37), 05/08/2018 11:23:16
推 RicciCurvatu: 不太可能是UFD吧.. 唯一因式分解就是UFD定義那根本
→ RicciCurvatu: 不用證了
推 RicciCurvatu: 然後你第一行論證可能有問題，如果f over Z6 那(x-1
→ RicciCurvatu: )(x-2)=(x-4)(x-5) 但你說代1會使右邊其中一個是零
→ RicciCurvatu: 肯定是錯的，你偷偷用到了沒有zero divisor的性質，
→ RicciCurvatu: 但題目應該沒給
推 Desperato   : 我去查了一下split的定義 好像都定義在field上
→ Desperato   : 那肯定沒有zero divisor的
→ Desperato   : 而且1F的證法躲過了這個問題
→ Desperato   : 你說的那個叫做「唯一分解定理」 那個exactly是UF
→ Desperato   : D的東西
→ znmkhxrw    : 我昨天是證出可以放寬到integral domain with infin
→ znmkhxrw    : ite elements
→ znmkhxrw    : @R大說的有問題 是不是正是integral domain的ab=0
→ znmkhxrw    : 等價於a=0 or b=0?
→ znmkhxrw    : @D大確實我一開始是假設無限體
→ znmkhxrw    : 我會發問主要是我用"唯一分解"去處理"非split"的敘
→ znmkhxrw    : 述
→ znmkhxrw    : 也就是說 如果沒有唯一分解定理 即便我反證法假設di
→ znmkhxrw    : vizor不split 我下一步根本寫不出來
→ znmkhxrw    : 但是確實寫不出來嗎 感覺是國中問題是不是我想太多X
→ znmkhxrw    : D