[中學] 指數律如何擴展至指數可為實數?

[MarketWizard (水晶心肝玻璃人)]

先說我的理解 國高中的指數律:

先定義 a^m = a*a*a...*a (a自乘m次. a為實數, m為正整數)

然後依我們對於乘法的觀察 可以歸納出一些指數運算性質 如:

a^(m+n) = a^m * a^n
a^(mn) = (a^m)^n

藉觀察分子分母消除共項可得以下性質:
a^(m-n) = a^m / a^n (a不等於0)

然後再定義出 a^0 及 a^-m

以下是我的問題:

(1) 到這裡, a^m的定義, 我們才可以放心地說 m可為任一整數. 對吧?
(2) 接下來請問如何將 m 擴展至整個實數域?

我的猜想:

用 e^x = lim(1-x/n)^n, n->正無限 ??

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.200.217.5
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1525702363.A.A3D.html
推 LiamIssac   : 我的數學老師有跟我提過這個問題 但我忘記後面他說
→ LiamIssac   : 啥了 XD
高中還是大學的數學老師?
譬如 2^pi 或是 2^sqr(2) 這要怎麼理解?
好焦躁 想了一天了 感覺可以用指數函數 e^x 來套用
證得 a^m 及其他指數律在 m 為實數下亦成立..(?)
※ 編輯: MarketWizard (1.200.217.5), 05/07/2018 23:09:37
推 cloudxyz    : 一般的理解不都是用有理數列去逼近
推 cloudxyz    :  網路上隨便找的 https://i.imgur.com/kLY5gJ0.jpg
推 lsmath      : 這是我找到的資料，我並不懂細節
→ lsmath      : ocw.aca.ntu.edu.tw/ntu-ocw/ocw/cou/104S115
→ lsmath      : 單元16和17