→ GaussQQ : 此做法非常無聊 只是概念性的講一下而已 05/12 15:22
第二題感覺還是得用窮舉的.....
原問題等價問 d(n)^3/n =4
因此得到 \prod_p (e_p+1)^3/p^{e_p} = 4
除了p =2和3 以外：我們有
(e_p+1)^3/p^{e_p}< 2^3/p < 2^3/5 =1.6
當 p= 2,最大值發生在p=3，且為4^3/2^3 = 8。之後為遞減函數。
當 p =3,最大值發生在p=2，且為3^3/3^2 = 3。之後為遞減函數。
假設2跟3 不整除 n:
可知 d(n)^3/n < 8/5 *8/7 <4
當假設3整除n但是2不整除n:
這個case簡單稍微比較一下 可以得到 2需要整除n。
當假設2|n：(一個一個討論吧)
1. e_2 =1 => \prod_{p>2} 2*(e_p+1)^3 = p^(e_p) 無解
2. e_2 =2 => \prod_{p>2} 3^3*(e_p+1)^3 =4*4*p^{e_p}
因此 e_3 >=3且3|e_3 可以簡單估計出
當e_3>=9: \prod_p (e_p+1)^3/p^{e_p}<(3^3/4)*(10^3/3^9)*8/5*8/7
=0.62<4
因此e_3 = 3 或 6。分別代入得到
1. e_3 =3 : \prod_{p>=5} 4*(e_p+1)^3 =\prod_{p>=5} p^{e_p} 無解
2. e_3 =6 : \prod_{p>=5} (e_p+1)^3*7^3 = 4*4*3^3*\prod_{p>=5}p^(e_p)
因此可以得知7|n:
同樣的討論可得知e_7 =3(因為e_7=6可簡單估計\prod_p(e_p+1)^3/p^{e_p}<4)
但是當e_7=3: \prod_{p>=5&p !=7} 4*(e_p+1)^3
= 3^3*\prod_{p>=5&p !=7}p^(e_p) 無解
差不多就是重複這樣的討論e_2.....
持續做到 e_2 =12。
因為當e_2 >=12我們有
\prod_p (e_p+1)^3/p^{e_p} < (13^3/2^12)*(3^3/3)*8/5*8/7<4
用同樣的方法討論而已= =
※ 引述《raymond92928 (raymond)》之銘言：
: https://i.imgur.com/o6rJxxt.jpg
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: 求大神
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