※ 引述《raymond92928 (raymond)》之銘言：
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: 求大神
第二題很顯然有兩種方法
一種是倚賴於質因數分解的唯一性, 另一種是基於d(n)的估計得出n的上界
這裡採用第一種
step 0:
d(n)^3=4n
易見，n=2^(3t-2)m^3,
其中 m= Πp^(a_p), p為奇質數。
且原式等價於 d(n)=2^t*m
step 1:
d(n)=(3t-1)Π(3a_p+1) = -1 mod 3
因此，a_3=0
故假設 p>=5
並且我們要解的式子為
(3t-1)Π(3a_p+1) = 2^t*m......(*)
step 2: 因p>=5, p^a >= 4a+1。等號成立於 p=5, a=1時。
所以，m>=Π(4a_p+1).
step 3:
由1&2,
(3t-1)Π(3a_p+1) >= 2^tΠ(4a_p+1)
(4/5)^k >= Π[(3a_p+1)/(4a_p+1)] >= 2^t/(3t-1)，
其中k是m的相異質因數個數。
若 k=0, 則 1>=2^t/(3t-1) ==> t=1,2,3。
即n=2,16,128,
但n=16不合。所以，n=2,128。
若k=1,則 4/5>=2^t/(3t-1), t=2。
此時不等號是成立的，因此，p=5,a_5=1。
且n=2^4*5^3=2000。
又，2^t/(3t-1)>=4/5 當t為非負整數。
所以，k>=2無解。
因此，所有的解為 n=2, 128, 2000。
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