推 LiamIssac : SVD 05/21 17:44
推 giraffe1021 : Hint: (A^2)v=Aλv=λAv=(λ^2)v 05/21 18:33
推 arthurduh1 : 用 Jordan decomposition 05/21 19:52
→ arthurduh1 : 注意 eigenvalues 全相異 → diagonalizable 05/21 19:53
→ znmkhxrw : A^k的各種處理法都OK 就是不知道如何跟A拉關係QQ 05/21 19:55
→ arthurduh1 : 呃, 發現不太用管 diagonalizable 那句 05/21 20:01
→ arthurduh1 : 就直接假設 A 的分解, 然後觀察 A^k 05/21 20:04
推 zombiea : eigenvalus需要在R內存在嗎？ 05/21 20:06
推 LiamIssac : 應該可以用實數的獨特性去證吧 if a not equal b an 05/21 20:08
→ LiamIssac : d a,b in R, then a^k not equal b^k for any K in 05/21 20:08
→ LiamIssac : N 05/21 20:08
推 zombiea : 更正，不需要考慮在R內是否存在。直接看jordan form 05/21 20:09
→ Sfly : 用反證法很容易吧 05/21 20:39
各位板友不好意思，我還是抓不到關鍵...我說明一下各方法卡住的點好了：(做k=2)
(1) giraffe大的【(A^2)v=Aλv=λAv=(λ^2)v】
是成立在 若 Av = λv 則 (A^2)v=Aλv=λAv=(λ^2)v 吧?
但是題目要的是若 A^2 v = λv 是否能拆出 A w = c w
(2) Liam大的SVD是對A還是A^2做，我猜是對A做
但 A = UΣV^* , A^2 = (UΣV^*)(UΣV^*) 看不出什麼端倪...
(3) ar大的jordan decomposition，jordan form 不是要 特徵多項式split才能用嗎?
那假設先處理F = C 的case (F = R不適用，因A不一定split，條件只有A^2 split)
(因為A^2有n個相異固有值當然split)
則存在可逆矩陣Q€M_n(C)使得 Q^-1 A Q = J (Jordan matrix)
然後用 P^-1 A^2 P = D (diagonal matrix) 去證出J is diagonal？
(4) zom大感覺跟ar大的想法一樣，那是如何不用考慮 F = R的？
如(3)所言，我們還不知道A是否split
(5) sf大的反證法是指？直接從題目看的話我試過反證法要考慮兩個
(i) 假設A splits：那必存在某個char(A)的根是二重根以上
(ii)假設A 不splits：char(A)的根<=n-1個(計重數)
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by the way, 從你們的回答貌似跟論壇一樣好像很trivial
到底是卡在哪QQQQQQQQQQQQ
※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 05/21/2018 23:59:10
推 arthurduh1 : jordan form 不用 char. poly. splits 05/22 00:41
→ arthurduh1 : 哦哦, 你的意思是那個. 你當 F 是 C 就好了 05/22 00:44
→ arthurduh1 : 如果你的 eig. value 不允許是複數, 那命題錯誤 05/22 00:44
→ znmkhxrw : 因為論壇是把這性質直接拿來用 但是我證很久證不出 05/22 00:45
→ arthurduh1 : 回到 F = C, 只要用到 J 是上(下)三角矩陣就行 05/22 00:46
→ znmkhxrw : 朝著2x2矩陣找反例一段時間也找不到QQ 05/22 00:46
→ arthurduh1 : 這種矩陣的 eig. values 就是對角線 05/22 00:46
→ znmkhxrw : 有F=R的反例嗎 謝謝!! 05/22 00:46
→ znmkhxrw : C我看一下 05/22 00:46
→ arthurduh1 : 很好求, 直接跟 A^k 的 eig. values distinct 矛盾 05/22 00:47
推 arthurduh1 : F = R的反例: A = {{0,1},{-1,0}}, k=2 05/22 00:50
→ arthurduh1 : F = C 的下一步不是直接分解 A^k, 而是考慮 05/22 00:52
→ arthurduh1 : A^k = (Q J Q^{-1})^k = Q J^k Q^{-1} 05/22 00:53
→ znmkhxrw : a大 那個不是反例 A^2 = {{-1,0},{0,-1}} 05/22 00:53
→ znmkhxrw : eigenvalue重複了 05/22 00:54
→ arthurduh1 : 哦哦對 我再想想 05/22 00:54
→ znmkhxrw : 2x2幾乎想不到QQ 謝謝你的F=C 05/22 00:54
→ znmkhxrw : 關於你F=C的證明我有個疑問寄站內給你 感謝 05/22 00:57
推 arthurduh1 : F = R: {{2, 1}, {-12, 2}} 05/22 01:03
→ arthurduh1 : 不對 又重複了= = 05/22 01:03
→ arthurduh1 : F=R 應該也是對的, 因為共軛根要一起出現 05/22 01:05
→ arthurduh1 : 透過 F=C 應該可以直接進一步說明, 可是這樣好繞 05/22 01:05
我用過F=C去處理F=R
但是卡在F=C時eigenvectors會是C^n
不能移回F=R....
→ Sfly : 由Jordan form 可知，若{a}是A的eigenvalue,則 {a^k 05/22 01:06
→ Sfly : }是A^k的eigenvalue。若{a}不是相異的，則{a^k}必然 05/22 01:06
→ arthurduh1 : 其實 F=C 用 jordan form 就算大材小用了, 因為只用 05/22 01:06
→ Sfly : 不相異，矛盾。 05/22 01:06
※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 05/22/2018 01:09:36
→ arthurduh1 : 到上三角的性質, 我覺得應該還有更好的證法 05/22 01:07
→ arthurduh1 : to Sfly: A 可能沒 eig value, 不過換成 gen. eig. 05/22 01:08
→ arthurduh1 : value 就行了這倒是 05/22 01:08
推 Sfly : 反證法可以假設有@@ 05/22 01:10
推 arthurduh1 : 可是 A 沒有 n 個 distinct 的反面不代表 A 有 05/22 01:11
→ arthurduh1 : eig. value. 05/22 01:11
→ arthurduh1 : 更正: A 有 n 個 distinct 的反面 05/22 01:13
推 zombiea : since F=R/C, wirte A=QJQ-1, Q, J /C. J^k= diag 05/22 01:14
→ zombiea : with distinct entries, J has different eigenval 05/22 01:14
→ zombiea : ues. if F=C, this completes the argument, other 05/22 01:14
→ zombiea : wise, write Q=T+iS, A^kQ=QJ^k, and A^kT=TJ^k, c 05/22 01:14
→ zombiea : heck J has distinct diagonal entries over C, so 05/22 01:14
→ zombiea : mehow by above equation, it's all real 05/22 01:14
→ arthurduh1 : A 有 n 個 distinct 的反面不代表 A 有 n 個 eig. 05/22 01:14
→ arthurduh1 : value, 這樣才對 05/22 01:14
推 zombiea : check this condition on J 05/22 01:22
推 arthurduh1 : to 原PO: 不是直接用同樣證法. 而是當你知道 F=C 05/22 01:26
→ arthurduh1 : 是對的時候, F=R 的矩陣至少在 C 中分解會是對的. 05/22 01:27
欸都...我的顧慮詳細如下：
假設以下F=C成立，即：
<Prop>
Let A€M_n(F), F=C , k>=2
if A^k has n distinct eigenvalues
then A has n distinct eigenvalues
----------------------------------
想證明F=R也會對
pf：Let A€M_n(R), k>=2
and A^k has n distinct eigenvalues (real)
Hence P^-1 A^k P = D, all entries are real --(*)
Now see A in M_n(C)
From (*) we know A^k has n distinct eigenvalues w.r.t. C
By <Prop>, A has n distinct eigenvalues w.r.t. C
i.e. Q^-1 A Q = S , S is diagonal and Q,S€M_n(C)
到這邊我就放棄了，因為要證明Q,S€M_n(R)才對
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ar大如果你所謂的F=C推得F=R不是這個意思麻煩跟我說一下
明天我再看看zom大的證明 謝謝！
※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 05/22/2018 01:36:23
→ arthurduh1 : 唯一的例外是有 C 中的 eigen value 05/22 01:28
→ arthurduh1 : 但這時候一定會有共軛根, 這兩根的^k既然都落入 R 05/22 01:29
→ arthurduh1 : 這兩根的^k就會一樣. 05/22 01:29
推 arthurduh1 : 你放棄那邊就接01:28的推文就行了. 但就是暴力...XD 05/22 01:43
→ arthurduh1 : 如果 S 是 real, 那 Q 也能修成 real 05/22 01:45
→ arthurduh1 : 就是取 Q 的實部就行 05/22 01:46
→ Sfly : I think all of the two cases follow from the fac 05/22 01:58
→ Sfly : t that |A^k-t^k*I| is divisible by |A-tI|. The 05/22 01:58
→ Sfly : case F=C is easy. 05/22 01:58
→ Sfly : When, F=R, all the imaginay roots of |A-tI| can 05/22 01:58
→ Sfly : be paired by conjugation. Two conjugate numbers 05/22 01:58
→ Sfly : have the same size, which contradicts with that 05/22 01:58
→ Sfly : the eigenvalues of A^k are distinct. 05/22 01:58
→ arthurduh1 : F=R 作法相同, 但 F=C 我看不出來這樣能證 05/22 02:04
→ arthurduh1 : F=C 其實就是把你 01:06 推文的 eigen values 換成 05/22 02:06
→ arthurduh1 : Jordan form 的對角線元素, 或者說是 eigenvalues 05/22 02:06
→ arthurduh1 : with algebraic multiplicity 就對了(要整體考慮, 05/22 02:06
→ arthurduh1 : 而非一個一個 eigenvalue 考慮, 這樣處理不了重數) 05/22 02:07
→ Sfly : |A^k-t^kI|的根都是相異的...不會有重數 05/22 02:15
→ Sfly : 這方法就可以不用jordan form 05/22 02:17
→ arthurduh1 : 但怎麼導到 A-tI 的根也是相異的? 而且要找 n 個哦 05/22 02:35
→ arthurduh1 : 你這樣只是複述一次問題, 重點是過程是怎樣的? 05/22 02:36
→ arthurduh1 : 也許從這個方向切入是可行的, 可是你只說 divisible 05/22 02:38
→ Sfly : divisible為什麼不夠 05/22 02:48
→ arthurduh1 : 首先這是一個矩陣的方程式, 再來還有另一個因式 05/22 02:50
→ arthurduh1 : 比如說 A^2-t^2 I = 0 的 t 有兩個根 1 和 4 05/22 02:51
→ arthurduh1 : 你只說 divisible, 那怎麼知道 ±1, ±2 哪兩個 05/22 02:52
→ arthurduh1 : 才是 A-tI = 0 的解? 05/22 02:53
→ arthurduh1 : 哦哦, 你加絕對值是取行列式的意思 05/22 02:55
→ arthurduh1 : 懂了懂了, 這樣應該行 05/22 02:56
推 arthurduh1 : 給個推~ 05/22 03:03
推 arthurduh1 : 補個討論結果供後人參考: 只提出 |A-tI| 的話, 05/30 15:58
→ arthurduh1 : 若 A 有 0 這個 eig. value 需要再額外處理. 05/30 15:58
→ arthurduh1 : 比較迅速、廣泛的結果可以進一步分解 05/30 15:58
→ arthurduh1 : det(x^kI-A^k) = Π_i det(xI - ω^i A) 05/30 15:59
→ arthurduh1 : 其中 i 過 0 ~ k-1, ω 為 1 的一個 primitive k-th 05/30 16:00
→ arthurduh1 : root. 05/30 16:00
→ arthurduh1 : 繼續整理就會得出 A^k 的 char. poly. 之根恰好是 05/30 16:02
→ arthurduh1 : 每個 A 的 char. poly. 之根的 ^k (計算重數) 05/30 16:02
推 Vulpix : 要變回real matrix，就得說明eigenvector每個分量都 06/02 20:30
→ Vulpix : 「可以是」實數(只能說「可以是」，因為多乘一個i也 06/02 20:32
→ Vulpix : 還是eigenvector)。回頭解(A-λI)v=0，馬上就得到實 06/02 20:33
→ Vulpix : 數分量的v了。 06/02 20:34