Re: [其他] 奧數一題

[GaussQQ (亮)]

有善心大大指正錯誤 這題請高手解啦 看來我指數都還給老師了

原題等於

(-2)^(2011)......= -1 * 2^(2011)^...

現在計算

2^(2011)^..=1157^(2011)...mod 2013   還剩2011個

注意 :

1157^2 = 4 mod 2013

考慮簡單的CASE：

1. 2^(2011) = 1157 mod 2013


2. 2^(2011^(2011))

觀察

1. (1157)^2011

=(2^2011*1007*1157)=(4*1007)=2 mod 2013

和

2. a^(b^c) = (a^b)^( b^(c-1))  a,b,c positive integers



所以

2^(2011^2011) = (2^2011)^(2011^2010)=(1157)^(2011^(2010))

=(1157^2011)^(2011^(2009))

=2^(2011^(2009)) mod 2013


所以利用這個關係疊代可以得到

2^(2011^2011)=(2)^(2011)=1157 mod 2013

因此接下來的General case應該可以用數學歸納法解決

Claim 2^(2^2011)....2011個 =1157 mod 2013 (等等回來試試)









(舊的論證)

因此可以得到

1157^(2011)...= (4^(1005) *1157)^(2011).....(<===此步有誤 晚點再來思考 感謝)

=(2^2011*1007*1157)^(2011)....=(4*1007)^(2011)...=2^(2011)..還有2010個mod2013

因此可以看出

奇數個2011次方是餘1157

偶數個2011的是餘2

既然現在有2012個所以答案應該是-2






※ 引述《raymond92928 (raymond)》之銘言：
: https://i.imgur.com/YAgYP0F.jpg
: 提示不知道哪裡可以用到

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.204.49.117
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1527074676.A.83F.html
※ 編輯: GaussQQ (180.204.49.117), 05/23/2018 19:25:04
※ 編輯: GaussQQ (180.204.49.117), 05/23/2018 22:25:47
推 raymond92928: 明白了,謝謝
→ GaussQQ     : 此做法有一步有誤，感謝有人指正，晚點再來修正感謝
※ 編輯: GaussQQ (60.251.64.250), 05/26/2018 12:49:40
※ 編輯: GaussQQ (60.251.64.250), 05/26/2018 13:46:15
※ 編輯: GaussQQ (60.251.64.250), 05/26/2018 18:36:57
※ 編輯: GaussQQ (117.19.182.222), 05/26/2018 19:56:14
→ GaussQQ     : 也感謝lhp66的指正
推 cutekid     : Let Programming Heal Us = LPH 大