[分析] discontinuities of a B.V. function

[cyt147 (大叔)]

大家好，有個問題想請教各位。我目前正試著證下列性質:

Let f:[a,b]→R be of bounded variation. If f has a discontinuity, it must be

a simple jump. Furthermore, the discontinuities of f form a countable set.



NOTE: A simple jump has limits on both sides if it's an interior point, and
      has the one-sided limit if it's an endpoint.
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我已經知道:

1. A function of bounded variation can be expressed as the difference of two
   increasing functions.

2. An increasing functions can have a discontinuity only when it's a simple
   jump. Besides, the set of discontinuities is countable.


我查了幾本分析導論，都是用上面兩個lemma"說明"，沒有詳細過程。如果想寫個一清
二楚，請問該怎麼下手?謝謝。

我的開頭目前就只有:

Suppose f=g-h for some increasing functions g,h.

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推 LiamIssac   : 我的想法是把bv根據那些不連續點分別拆成兩段的合
謝謝回應。

後來想想，似乎沒什麼好證的。由極限的減法可知g-h在不連續點會有左、右極限，所以

f的不連續點必為simple jump。另一方面，在用g、h製作g-h的時候，不論他們的不連續

點是否減少，終究各自成一個countable set，取聯集當然還是countable set。我覺得這

個證明寫仔細的話大概就是這樣。
※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 05/26/2018 18:13:32
※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 05/26/2018 18:15:57
推 mike50378   : https://i.imgur.com/xTJfcKS.jpg
→ mike50378   : 這是Apostol 的高微，可以找到證明，概念跟你理解
→ mike50378   : 的一樣
推 lwei781     : g 和 h 連續的點 f 也連續