[分析] The Arzela-Ascoli theorem

[cyt147 (大叔)]

目前在看Rudin的7.25 Theorem(p.158)，又稱Arzela-Ascoli theorem，Proof有個地方

看不懂，想請板友解惑，感謝。

在Proof的(b)，他說:

Since E is dense in K, and K is compact, there are finitely many points

x_1,...,x_m in E such that

K\subset V(x_1,δ)∪...∪V(x_m,δ).

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請問那m個點為何是在E找的?現在是K為compact，那finite subcover不就應該在K

找嗎?上面那段話應該改成:

There are finitely many points x_1,...,x_m in K such that

K\subset V(x_1,δ)∪...∪V(x_m,δ).


吧?我有注意到Rudin提到"E is dense in K"，這意味著K\subset closure(E)，

因此若y\in K，則\exist x\in E such that x\in V(y,δ)，但這樣還是跟Rudin講
的不太一樣，請問我少了哪個步驟呢?謝謝。

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※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 15:38:26
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※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 15:40:27
推 znmkhxrw    : E改成K當然對 可是那就只是K compact定義
→ znmkhxrw    : 要證出rudin那個 考慮E的一組open covers
→ znmkhxrw    : 不難證明closure of E也會落在同樣的那組open cover
→ znmkhxrw    : s
→ znmkhxrw    : 最後由K = closure of E得出那組open covers其實也
→ znmkhxrw    : 是K的open covers 因此存在finite subcovers
→ cyt147      : 抱歉，無法理解你說的"不難證明"
→ znmkhxrw    : 站內打給你唷 稍等
→ cyt147      : 抱歉，又要麻煩你了，我找了一些資源還是看不懂
推 mike50378   : 嚴格說起來，並不是E的closure並不一定會包含在任意
→ mike50378   : 的E的open covers，但我們可以透過把opeb set稍微
→ mike50378   : 放大的方式，讓E的closure可以在某個E的open covers
→ mike50378   : 裡面
→ mike50378   : 阿第一段的「並不是」多打了，麻煩忽略XD
謝謝兩位的回應，請給我一點時間消化，讀比較慢。
※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 19:17:33
推 znmkhxrw    : @mike大 不好意思讓你誤會了XD 因為原PO的
→ znmkhxrw    : open cover是固定半徑delta 所以我才會那樣說
→ znmkhxrw    : 固定半徑的delta就不用放大就能包住closure了
→ znmkhxrw    : 確實"任意"的opcn cover無法包住closure
我似乎做出來了，在大家的幫忙下。

Since K is compact, \exist y_1,...,y_m\in K such that

K\subset \bigcup_{i=1}^{m}V(y_i,δ/2).

With the denseness of E in mind, for i=1,...,m,

we can choose x_i\in E so that x_i\in V(y_i,δ/2).

By the triangular inequality, it's not hard to see that

\bigcup_{i=1}^{m}V(y_i,δ/2)\subset\bigcup_{i=1}^{m}V(x_i,δ).
※ 編輯: cyt147 (180.177.114.46), 06/02/2018 22:58:25