[微積] 體積分看不懂為什麼這樣積

[alan23273850 (God of Computer Science)]

RT，洨弟這學期當微積分迷你助教，看到某題有小妹創造了神奇算法，讓我好不驚訝

那題題目是這樣的：

試求 SSS z dV，積分範圍是被一個拋物面 z = x^2 + y^2 和平面 z = 4 所包住。

小妹的解法是這樣的：

(0->2pi)(0->2)(0->r^2) r^2 * r dz dr d(theta)

我一直看不出來為什麼要這樣積，但神奇的是她的數字竟然跟標準解答一模一樣，

而且我把題目換成 SSS z^2 dV 或 平面 z = 9，都是對的

只有在拋物面改成 z = (x^2 + y^2) ^ 1.5 的時候才不一樣

有人知道為什麼嗎？

前幾名的正解都給 100 P 好惹，洨弟沒啥經費，

如果確定解法是錯的話就看心情發，感謝各位板友。

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推 AnnaOuO     : 拋物面變成(x^2+y^2)^(1.5)的時候z軸改成(0→r^3)dz
→ AnnaOuO     : 應該可以吧
→ alan23273850: 請問樓上大大，那積分裡面那個 r^2 要跟著改嗎
→ alan23273850: 我剛剛試過裡面那個改或不改好像都不太對
推 AnnaOuO     : 還真的滿神奇的欸 只有z=(x^2+y^2)可以 其他都不能
→ alan23273850: 我真的不知道要不要給她分數
→ yyc2008     : 應該給
→ alan23273850: 我想給部分，可是老師說不能給全部，其實她們可以再
→ alan23273850: 來寄信要分拉
→ alan23273850: 所以真的沒有人知道為什麼要這樣做？我問了自己的微
→ alan23273850: 積分助教群跟一位我的強者同學都說不知道
→ yyc2008     : 我剛剛還寫出另外一個形式 答案完全一樣
→ yyc2008     : 歪打正著 數學的迷人之處
→ yyc2008     : 所有數值都對
→ alan23273850: 跪求大大解說，是連 z = r^3 都對嗎
→ alan23273850: 我會發 P
→ yyc2008     : 我自己得先弄懂才行(汗...) r^3是什麼意思?不懂
→ alan23273850: 其實歪打正著是不能給分的，必須有具體理由
→ alan23273850: 就是我講的 z = (x^2+y^2)^1.5
推 AnnaOuO     : 我不懂為什麼可以不對z積分直接換成r^2然後對r積
推 AnnaOuO     : 我覺得他是把 S(0→4) (pi)z*z dz 展開成那樣
→ alan23273850: 可是這樣就不需要乘以 2pi 了吧
→ alan23273850: 我的速解法正是你所講的那個
→ yyc2008     : 速解法是什麼? 有根據嗎?
→ alan23273850: 我指的是Anna大大講的每層先算出面積再乘以z再加總
→ alan23273850: 速解：S(0→4) (pi)z*z dz
→ alan23273850: 為了感謝大大們討論，我決定給上面兩位大大各 50 P
推 hahaiduno   : 這位女同學的算法等於是把圖形化為圓錐體計算，而非
→ hahaiduno   : 題目所給的拋物體積之限制，在邏輯上就有錯了，而兩
→ hahaiduno   : 者算法所得出的答案一樣則是巧合而已，這是我的看法
→ hahaiduno   : 。
推 sciphypar   : 被積函數應該要是zr,  z的範圍要是r^2->4這樣才是
→ sciphypar   : 對的列式ㄅ
→ sciphypar   : 她感覺只是塞中
推 TaiwanFight : 台灣的教育就是這樣  可行但是老師不認同的方法就是
→ TaiwanFight : 錯  標準台灣數學教育
→ TaiwanFight : 高斯的1+2+..+100的例子  來台灣大概被打叉
→ TaiwanFight : 給我乖乖地用加法算
→ alan23273850: 台灣打架大大，這個問題跟你的例子應該沒啥關係吧，
→ alan23273850: 高斯的速解法是正確的思維，但我看不懂那個學生的思
→ alan23273850: 維點在哪，如果她能來信解釋為什麼這樣列式的話我還
→ alan23273850: 是會給她對 R
→ TaiwanFight : 如你所說 你該做的事情是去問學生的解題思維
→ TaiwanFight : 而不是找個不知道哪來的人們開個私會
→ TaiwanFight : 後者的搞法就是台灣的搞法
→ TaiwanFight : 對了  題外話
→ TaiwanFight : 1+2+..+100的那位老師  小故事中也看不出高斯的思維
→ TaiwanFight : 換成台灣版本的故事  結局就是乖乖先給我加滿加好
推 arthurduh1  : 老師先想辦法看能不能搞懂沒啥問題啊
→ arthurduh1  : 更何況就算思維正確, 你沒有好好表達, 嚴格一點
→ arthurduh1  : 撇錯也不是什麼問題.
→ arthurduh1  : 如果允許部分給分的更麻煩, 在知道學生思維之前都
→ arthurduh1  : 不能給分數, 那要改到什麼時候?
推 AnnaOuO     : 應該給2分答案分數 其他不給
→ alan23273850: 台灣打架大大，我不能主動問學生，必須等學生來要分
→ alan23273850: 所以也只能先扣，不然直接給滿到時候又不能扣回來
→ alan23273850: 我最後給 3 分，積分範圍 1.5 分，裡面的積分式 0.5
→ alan23273850: 分，計算過程無誤 2 分全給，所以總共 3 分
→ alan23273850: * 說錯：積分範圍只給 0.5 分
→ alan23273850: 那題滿分 5 分，跟 Anna 大的期望差不多
推 ERT312      : 先不管學妹的解法有無道理，看不懂而不給分或不幫
→ ERT312      : 背書是很正常的，高斯/柯西也因為看不懂阿貝爾/伽羅
→ ERT312      : 瓦的論文，而把他們的論文壓在資源回收桶
→ ERT312      : 看不懂而給滿分或背書，不會顯得矯情嗎?
→ ERT312      : 就算對方是學妹也不能這樣啊
推 cuttlefish  : 不給分 學妹才會來找你阿
→ alan23273850: ㄎㄎ 咖斗魚大大 hen 有經驗，我同學也這樣講
→ alan23273850: 不過我其實算是幕後助教，身分特殊通常不會跟學生接
→ alan23273850: 觸，所以有點可惜就是
推 TaiwanFight : 所以我說  這就是標準的台灣教育^^
→ wohtp       : 我在常春藤學校改過小考期中期末，這種慣例一樣不給
→ wohtp       : 分。
→ wohtp       : 回答考題的重點在於「表現出你懂得怎麼得到答案」
→ wohtp       : 所以寫出讓人看不懂的回答拿不到分數是應該的
→ wohtp       : 退一百步來說，費馬說他證明了最後定理但是空間不夠
→ wohtp       : 寫，你是要觀落陰去問他的思路，還是直接認定他沒有
→ wohtp       : 證完？