[名人] Geordie Williamson

[TassTW (塔矢)]

澳洲數學家 Geordie Williamson 上個月獲選為英國皇家學院院士, 這是他近年繼美
國數學會獎, 歐洲數學會獎, (Zuckerberg 辦的) New Horizons Prize 之後又一個榮
耀.

今年八月, 四年一度的國際數學家大會將在巴西里約熱內盧展開, 眾所矚目的費爾茲
獎他也是大熱門 - 費爾茲獎慣例只頒發給 40 歲以下的數學家, 而在所有大會演講
者當中只有他和 Peter Scholze 不到 40 歲.

讓我在這科普一下 Geordie 的一部分工作:

在開始之前讓我先鋪個哏

問: 令 F_i 為第 i 個 費氏數 (F_1 = 1 = F_2),
    請找出最小的 i, 使得 F_i 的最大質因數 q 大於 3i+2.
    (答案後述)

§I. Kazhdan-Lusztig 理論　

    表現理論的核心問題是

(1a) 構造/分類/描述所有 irreducible modules,

    在李代數表現理論中, 這命題等價於

(1b) 計算 standard module Δ(w) 的 composition factors 中, irreducible
     module L(x) 出現了幾次.
     我們把這個次數寫作 [Δ(w):L(x)]

    上一個世紀表現理論最紅的問題是 Kazhdan-Lusztig theory, 簡而言之, 是用
Kazhdan-Lusztig (KL) 多項式 P_xw(q) 來刻劃 Lie theory 當中不同來源的物件的表
現理論. KL 多項式的代數定義如下:

    令 W 是 simple Lie algebra 對應的 Weyl group,
H(W) 是對應的 Hecke algebra,
{T_w}_w 是 H 的 standard basis,
{c_w}_w 是 H 的 KL (canonical) basis (在此不解釋)
而 [P_xw(q)]_x,w 就是這兩組基底的係數轉換矩陣

    令 k 為這些 modules 的 ground field, p = char(k).
表現理論在 p = 0 和 p > 0 時有非常不同的結構.

§II. Characteristic 0　

    當 k = C (複數體) 時, (1b) 在八零年代被完全解決 -

Theorem (Kazhdan-Lusztig Theory)
    在 simple Lie algebra over C 的範疇中,
    [Δ(w):L(x)] = P_xw(1),
    即, 將 KL 多項式 P_xw(q) 代入 q = 1 後得到的數字.

    完整的證明結合了下面工作

1. [Kazhdan-Lusztig '79]
    以 perverse sheaves 和 intersection cohomology 解釋 KL 多項式

2. [Beilinson-Bernstein '81, Brylinsky-Kashiwara '81]
    透過 D-modules 連結 [Δ(w):L(x)] 和 KL 多項式

    而這種使用幾何結構來研究表現理論的手法, 後來被大家泛稱為幾何表現論
(geometric representation theory).

對於這個證明, 表現理論學家並不是非常滿意, 仍然有許多人在尋找純代數的證
明. 而 Williamson 承接了他老闆 Soergel 的工作, 和 Elias 一同給出了代數
證明和一套全新的工具:

這個新的數學結構叫做 Soergel bimodules, 每個 Soergel bimodule 都要透過
解構 Bott-Samelson bimodules 來定義, 而我們可以把 indecomposable Soergel
bimodules 找出來, 寫作 SB(w)

定理的精神就是, 這些 SB(w) 的 tensor product 能用來描述 KL basis 的乘法!
比方說, 如果在 Hecke algebra H 層級上, KL basis elements 滿足

    c_w c_x c_w = c_w + c_{wxw},

那麼, 在 Soergel bimodules 的層級上, 有以下 bimodule 的同購

    SB(w) tensor SB(x) tensor SB(w) = SB(w) ⊕ SB(wxw).

換言之,

Theorem [Elias-Williamson '13]
    Category of Soergel bimodules 是 Hecke algebra 的 categorification.

而 Soergel bimodule 作為一個 categorification, 擁有相當好的性質 - Hecke
algebra 上複雜的代數關係可以被 string diagrams 所描述, Geordie 說其實這
個代數證明 Soergel 當初就有想法了, 只是在 Hecke algebra 的層級上計算過
於複雜無法實現, 直到範疇化/string diagrams 的引入, 證明才真的被寫出來.

§III. Characteristic p　

眾所周知, 特徵 p 上的表現理論比特徵 0  的表現理論難上一截. 而大家對於這
塊領域的大致上有幾個共識:

* p 夠大時的表現理論和 p = 0 的時候很像
* p 很小的時候, 有一些難以預期的現象
* 分辨 p 是大還小的分界, 約是由 Lie algebra 的 Coxeter number h 決定

    也因此在許多定理中, 會有一些假設像是
         p > h; p >  h+1; p > 2h+1... etc

    這些假設的精神就是希望 p 不要太小.

Lusztig 在 90 年建立了一些初步成果, 並給了 (1b) 的猜想:

Lusztig's Modular Conjecture
    如果 p > h, 則
(1c)    [Δ(w):L(x)] = P_xw(1),
        注意這裡 x, w 都是 affine Weyl group 中的元素

三年後, Andersen-Jantzen-Soergel 給出了 Lusztig 猜想的部分結果:

Theorem [AJS '93]
    (1c) 除了有限多個 p 以外都會成立

也就是說, 雖然不知道要多大, 但是 p 足夠大的時候, (1c) 是對的
然後大家繼續埋頭苦幹, 下一個結果要等到 2008 年 - Peter Fiebig 給出了
一個明確的上界 U(h):

Theorem [Fiebig '08]
    如果 p > U(h) = min r!(r!(r-1)N^{l+2d})^r (這個上界非常大, 不解釋)
                     s
    則 (1c) 成立

但是這個上界大到可怕, 有非常大的下修空間.

Williamson 第二個足夠得獎的工作, 便是找出了 Lusztig 猜想的反例, 並且引入
了新的工具, 大大改變了 modular representation theory 的研究方向

§IV. 費氏數列　

我們暫時回來看個大家都懂, 快樂的初等數學問題

令 F_i 是第 i 個 費氏數, 從 F_1 = 1 = F_2 開始.
問: 有沒有這樣一個費氏數 F_i 滿足
    F_i 最大的質因數 q 大於 3i+2.

我們乖乖的把這些數列出來:

i   │ 1 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
──┼─────────────────
F_i │ 1 1  2  3  5  8 13 21 34 55 89
    │
q   │ 1 1  2  3  5  2 13  7 17 11 89
    │
3i+2│ 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35

可以驗證 在 i = 11 時, q = 89 > 3(11) + 2 = 35.

這樣的費氏數存在, 就可以套用 Williamson 和何旭華的工作 (不解釋),
構造出一個 (1c) 的反例! (此時 p = 89 > h = 35.)


§V Parity Sheaves　

Williamson 的工作有很大的一部分奠基於他 2009 年和 Juteay 與 Mautner
引進的 Parity sheaves 理論.

在 Kazhdan-Lusztig 的原始工作中, 幾何表現論告訴我們這些 modules 和
perverse sheaves 息息相關 -

(3a) 一個 weight module 雖然不能被 character 唯一決定結構,
     但是知道 character 可以獲得許多資訊;

(3b) 一個 constructible sheaf 雖然不能被 stalks 的 rank 唯一決定結構,
     但是知道這些資訊 (稱 table of stalks) 很夠用了.

詳細來說, 對這個框架中的 sheaf F 我們可以去算每個 Schubert cell X_w
上的 ith cohomology 的 rank, 把得到的數字,

    s(i,w) = rank H^i(F)|X_w,

填入下表


 i\w│   w0   ...    w   ...    e
──┼───────────────
 0  │s(0,w0) ... s(0,w) ... s(0,e)
 1  │s(1,w0) ... s(1,w) ... s(1,e)
：  │   ：         ：         ：     ← 稱 F 的 table of stalks
：  │   ：         ：         ：
 i  │s(i,w0) ... s(i,w) ... s(i,e)
：  │   ：         ：         ：

如果這個表中所有奇數行都是 0 或是偶數行都是 0, 則
F 稱作 parity sheaf

JMW 構造了一個特殊的 parity sheaf ε_w(F), 並且證明了

[Δ(w):L(y)] = Σ rank H^i(ε_w(F))|X_y
               i

而 Kazhdan-Lusztig 定理告訴我們, 存在一個 intersection cohomology
sheaf IC_w(C) over 複數 C 滿足

[Δ(w):L(y)] = Σ rank H^i(IC_w)|X_y
               i

也就是說, (1c) 成立等價於

"parity sheaf ε_w(F) 和 IC sheaf IC_w(C) 的 tables of stalks 相同"

而 Williamson-何 的工作, 我們之前找到的費氏數, 確保了在 p = 89 時,
這兩個表上有一處數字不一致, 也因此 (1c) 不成立, 否證了 Lusztig 猜想.

§VI 後記　

就如同前面提到的, modular representation theory 中許多假設都有個
Coxeter number h 的 linear bound -

    如果 p > h 不能保證 (1c) 成立, 那我們改成 p > 2h+1 有可能會對嗎?
    如果 p > 2h+1 不夠, p > 100h + 87 可以嗎?

畢竟我們知道 p > U(h) 的時候 (1c) 是成立的, 那這個上界可以如何下修?

事情沒有那麼美好 - Williamson-何 的構造後來被改良 得到這個結果:

Theorem [Kontorovich-McNamara-Williamson '13]
    不存在一個多項式 P(h) 滿足 "如果 p > P(h) 則 (1c) 成立"

也就是說 Williamson 的結果不僅僅是一個猜想不成立, 他顛覆了我們對
modular representation theory 中對於質數大小的認知.

同時, parity sheaves 目前看來成了研究 modular representation 的主流
Williamson 不僅僅解決了好的, 困難的數學問題, 也開啟了新的, 美麗的數
學篇章. 究竟他會不會成為新科費爾茲獎得主 且讓我們繼續看下去.

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│衣阡陌田野以素衣裳║˙ .‧     .‥    ．            ．殘雪濁淖，不復瑩潔╰╯
│我心啊！請白潔勝雪║  ．   ,       ˙   ‧.     ． .  曾經底光華已為陳蹟
║請無垢無瑕        │                                  然我心啊，如磐石無轉
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 162.242.92.111
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1528858261.A.C09.html
推 znmkhxrw    : 推~只看得懂費式數列QQ
→ TassTW      : #1KRyb7BR 看看前情提要有沒有幫助
推 yclinpa     : 大推... 雖然大部分看不懂
推 turboho     : 看完的感想是代數真是博大精深
這篇其實大部分是幾何表現論啦

推 LiamIssac   : 完全看不懂XDD
推 willydp     : 真巧，我星期一才聽了他的演講，同樣的主題
→ willydp     : 是第三部份, p-KL poly和parity sheaves的部份
補充:
如同正文當中, 人們認為研究 parity sheaves 才是正道,
在這個前提下,

    IC sheaves     <-> KL polyn 的對應關係就成了
    parity sheaves <-> p-KL polyn

換言之, p-KL polyn 是個和 KL polyn 只有少部分一樣的多項式,
但是計算 p-KL polyn 沒有很直接的方法


推 willydp     : 此外，categorification好像是Soergel證明的？
→ willydp     : Elias-Willliamson是驗證canonical basis的猜想?
推 willydp     : 喔我錯了 Soergel只有證明injective 但在EW的文章中
→ willydp     : 把isomorphism也歸給了Soergel
Geordie 是說 Soergel 有這個 idea,
但是在 Khvanov-Lauda 引進 string diagrams for cat'n 之前,
這個計算不太實際所以沒有寫出來.

推 willydp     : 再推Tass大 總能寫出很有啟發性的文章
我也是看到好工作/聽了好演講被啟發以後依樣畫葫蘆哈哈
這篇有一半要歸功 Pramod Achar & Fiebig 的 talks

推 HeterCompute: 推，但真的看不懂XD
推 mike50378   : 推，跟聽學術演講差不多的感覺，不同領域就完全聽
→ mike50378   : 不懂XDD
只能說, 入門門檻還是有的, 我嘗試把門檻從專家降到研究生等級,
讀了一學期的 Lie theory 之後應該會比較能看懂
※ 編輯: TassTW (198.137.18.213), 06/13/2018 20:35:28
推 willydp     : 好奇parity sheaves有沒有Riemann-Hilbert對應
→ willydp     : 和Bezrukavnikov的理論有沒有關係
推 Giawgwan    : 好文!希望各領域的強者多寫一點這樣的文章在數學版
→ willydp     : 找到答案:Mautner--Riche證明了coherent-parity對應