[線代] 行列式題目

[kero961240 (阿哲)]

小弟近期遇到了一個問題如下
prove

|1+x  2   3   4  |
|1   2+x  3   4  | = (10+x)^3
|1    2  3+x  4  |
|1    2   3  4+x |

小弟做了很多行列式的運算，皆無法得到一個比較簡單的結果
想請問各位高手該如何做？

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推 LiamIssac   : 降階
→ TaiwanFight : 乘開化簡不就好了  兩三分鐘就做出來了
→ TaiwanFight : 覺得加減乘除分配一下很困難  就丟電腦算也行
→ musicbox810 : 這題出錯了吧 答案不會是(10+X)^4
→ musicbox810 : (10+X)^3更不可能
推 Gasty       : 全部往左邊加
→ arthurduh1  : 不看 +x, 剩下那個矩陣 rank=1, 特徵多項式易知
→ arthurduh1  : 正負號轉換一下便得 x^3(10+x)
→ yyc2008     : 請問正負號轉換一下是怎麼轉 可以有詳細過程嗎?
推 LPH66       : -x 是那個矩陣的特徵值, rank=1 故 0 是三重根
→ LPH66       : (因為 nullity=3) 再如六樓說的往左邊加可提出 10+x
→ LPH66       : (或者等價地求出非零特徵值為 10 再變號得 x=-10)
推 arthurduh1  : 特徵多項式 = det(xI-A) 跟題目的形式只差正負號
→ arthurduh1  : 非零特徵值 10 也能由 trace 看
→ arthurduh1  : 另, 6F 再接上第一列往下減剩下的, 能變成上三角
推 LPH66       : 噢, 都忘了 trace = 特徵值和了
→ LPH66       : 這樣三個 0 trace 10 所以第四個就是 10
推 alan23273850: 剛剛用 wolfram 算出結果是 (10+x)x^3
→ kero961240  : 謝謝大家我解出來了，答案給錯了