Re: [機率] 換還是不換問題請教

[recorriendo (孟新)]

來回一篇好了

要點其實前面大家的回文或推文都已經有提到 這裡只是更嚴謹地重述一次

沿用前面回文的記號

以 p(X) 表示兩個信封中較小值為 X (另一個信封為 2X) 的先驗機率



PART A)

假設打開一個信封 看到裡面的數字是 x

在此條件下 已知兩個信封裡的數字只有 {x, 2x}, {x/2, x} 兩種可能

由貝氏定理可簡單算出

兩個情況的條件機率分別是 p(x)/[p(x)+p(x/2)] 和 p(x/2)/[p(x)+p(x/2)]

大小取決於 p(x) 和 p(x/2) 的比值

因此 選擇交換的所得也取決於這兩個先驗機率的比值

如果我們認定先驗上沒有理由偏好兩種情況之一

那麼就是假定兩者比值為1 這樣就會算出交換後的期望值為 1.25x > x

就是原PO原來問的解答



PART B)

令人覺得弔詭的部分 我認為重新表述如下更清楚:

由 PART A 的結論 我們似乎得到如下諸命題 (無限多個命題)

(命題1) 若打開一個信封看到 1，則選擇交換所得期望值大於 0
(命題2) 若打開一個信封看到 2，則選擇交換所得期望值大於 0
...
(命題x) 若打開一個信封看到 x，則選擇交換所得期望值大於 0
...

如果這些命題全部為真 那麼根據 law of total expectation

我們似乎得到 "選擇交換之所得必然大於0 (即使未打開信封)" 的結論!

顯然不合理 (未打開信封時 兩個信封裡的數字期望值應該相等)


這其中的魔鬼就在於這些命題都有前提

在 PART A 中我們假設先驗機率 p(x) = p(x/2) 才有期望值為 1.25x 的結論

然而如果 X 取值非有界的話

不會存在先驗機率 p(X) 使得 p(X) = const. for all X

因此 PART A 的結論不可能對無限多個 X 都真



不過，麻煩的是，的確可以找到 well-defined 的先驗機率 p(X)

使得上述無限多個命題全部為真

也就是說 打開一個信封 無論看到任何數字 都是選擇交換有利

那麼 沒打開時要不要選擇交換?

這是還有爭議的部分

https://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem#Bayesian_resolutions

這一小節後半部有更詳細討論這個情況





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※ 編輯: recorriendo (217.117.224.48), 06/28/2018 05:34:27
※ 編輯: recorriendo (217.117.224.48), 06/28/2018 05:52:03
※ 編輯: recorriendo (217.117.224.48), 06/28/2018 06:43:15
推 cutekid     : 推(Y)
→ rax921930   : X無界 期望值發散 1.25X跟X 比大小好像就沒意義了
→ recorriendo : X無界期望值不一定發散啊...
→ recorriendo : 不過 我最後提的情況(不管打開看到多少都選擇交換)
→ recorriendo : 下確實可證E(X)發散(維基百科裡有證)
推 jass970991  : 超詭異
推 Desperato   : 我之前看到的是 只要p(x)在x夠大的時候消失 那期望
→ Desperato   : 值就會是0