[微積] 一題最小值計算

[znmkhxrw (QQ)]

請問一下如何證明這個題目：

令 f(x) = 1/(1+e^(-x))  --- called sigmoid function

對於任何 L > 0, 定義 g(x):= (f(x)-1)^2 + f(x-L)^2 on [0,L]

試證 L/2 為 g 的唯一一個全域最小值發生的地方

畫幾個圖形如下

L = 1 https://imgur.com/Me1U1Cs

L = 10 https://imgur.com/1sqb5NC

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當然我試過微分等於0，e^L跟e^x完全消不掉，解不出L/2是唯一一個使得g'(x)為0

的點 (當然g'(L/2) = 0 我知道)


接著我去觀察g'(x)這個函數，發現g'(0) < 0, g'(0) > 0

所以一樣只能從IVT得出存在g'(x_0) = 0，也一樣不能保證x_0是唯一的


目前剩下兩個方向

(1) 證明g''(x) > 0 → 計算量龐大我先沒試

(2) 用a+b = L , a,b>=0, 的限制條件去計算

    g(a,b) = (f(a)-1)^2 + f(b)^2 的最小值

    然後用Lagrange or convex problem

    但：(a) Lagrange：此處有a,b>=0不等式型的，需要用KKT條件?
        (b) convex problem：需要證明g(x,y)是定義在{(a,b):a+b = L , a,b>=0}
                            的convex function


我覺得應該不用用到(1) or (2)吧...感覺是簡單的問題@@?

謝謝幫忙！

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※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 06/29/2018 02:02:54
推 Vulpix      : g'(x)展開、通分、對 e^x 整理、提出 e^(2x)-e^L 後
→ Vulpix      : 剩下的部份在 [0,L] 上恆正。
推 LiamIssac   : min g(x) s.t. x <= L 然後Lagrangian 接 KKT
→ LiamIssac   : 試算了一下 不算太複雜啦 兩個式子只要解一個就好
→ LiamIssac   : L = g(x) + u(L-x) 只需要處理dL/dx=0
我試試看 謝謝V大與L大~^^
※ 編輯: znmkhxrw (220.128.169.29), 06/29/2018 18:12:18