推 llww : 謝J大，晚點再看。 另外重寫一個證明，請J大參考。 07/06 14:04
※ 引述《llww (開心渡過每一天)》之銘言：
: 題目：
: 設四邊形ABCD中，對邊AB與CD (所在直線)交於E， BC與DA 交於F，取點X、Y使四邊形
: BCDX與CEYF 皆為平行四邊形，試證：A、X、Y共線。
https://i.imgur.com/1PPmtQW.png
以下的向量符號皆省略
令
C為O點
OA = a*OD + b*OB
OF = c*OB
OE = d*OD
因DAF三點共線，所以 OF = t*OA + (1-t)*OD
c*OB = OF = t*OA + (1-t)*OD
= t*(a*OD + b*OB) + (1-t)*OD
= (1-t+ta)*OD + tb*OB
=> (c-tb)*OB = (1-t+ta)*OD
=> c-tb = 0 且 1-t+ta = 0
=> c = tb 且 t = 1/(1-a)
=> c = b/(1-a)
因EAB三點共線，所以 OE = s*OA + (1-s)*OB
d*OD = OE = s*OA + (1-s)*OB
= s*(a*OD + b*OB) + (1-s)*OB
= sa*OD + (1-s+sb)*OB
=> (d-sa)*OD = (1-s+sb)*OB
=> d-sa = 0 且 1-s+sb = 0
=> d = sa 且 s = 1/(1-b)
=> d = a/(1-b)
因BCDX與CEYF皆為平行四邊形
所以
OX = OD + OB
OY = OE + OF
OY = OE + OF = c*OB + d*OD
= b/(1-a)*OB + a/(1-b)*OD
= [b(1-b)*OB + a(1-a)*OD]/[(1-a)(1-b)]
= [ab*(OD + OB) + (1-a-b)(b*OB + a*OD)]/[(1-a)(1-b)]
= [ab*OX + (1-a-b)*OA]/[(1-a)(1-b)]
因 OY = [ab*OX + (1-a-b)*OA]/[(1-a)(1-b)]
且OX與OA的係數和為1
所以AXY三點共線
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※ 編輯: JKLee (111.248.67.227), 07/05/2018 20:37:57