Re: [中學] 三角函數證明

[Eliphalet (高等遊民)]

※ 引述《shoeming (修)》之銘言：
: 三角形ABC中 ,
: (cotA)^2+(cotB)^2+(cotC)^2=1 ,
: 求證三角形ABC為正三角形.
: 目前的想法是把cotA,B,C為三個根寫成多項式方程式,
: 已經推出三根之和跟兩兩之積和
: 卡在三根之積推不出來
: 想問缺了什麼或有什麼其他的想法
: 感謝~


 1. 已知 cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = 1


 2. (cotA - cotB)^2 + (cotB - cotC)^2 + (cotC - cotA)^2

     = 2(cot^2(A) + cot^2(B) + cot^2(C)) - 2(cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA)

     = 0  => cotA = cotB = cotC => A = B = C

     故為正三角形


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推 shoeming    : 天哪~竟然沒有想到. 感謝!
→ limil       : 應該可以用算幾不等式證明。利用等式成立證明正三
→ limil       : 。
→ shanewang43 : 想請問 1. 的已知怎麼知道的 不太懂
→ suker       : tan(a+b)=tan(π-c)=-tanc ;
→ suker       : (tan A + tan B)/(1-tan A tan B) = - tan C
→ suker       : tana+tanb+tanc=tana*tanb*tanc
→ suker       : 2邊/(tanatanbtanc) 就可以得到這式子
推 shanewang43 : 太特別了 高中有教過麻 還是我學太淺QQ