Re: [幾何] parametrization的inverse可微?

[yasfun (耶死放)]

已知x: U → S 是 parametrization，其中U is contained in R^2

想證x^(-1): x(U) → R^2 是differentiable



首先，x(U)是一個曲面(是S的一部分)

(如果你知道manifold語言的話，我們要先選定我們關心的atlas，不知道也沒差)



所以x^(-1)在某一點p in x(U)可微的意思就是

存在某個parametrization z: W → S 使得

x^(-1)。z: W → R^2 可微

(其中p屬於z(W)，W is contained in R^2，此處W與課本中的W不一樣)



最簡單的證法就是取z=x，W=U

如此一來x^(-1)。x 就變成 identity on U，identity可微，因此x^(-1)可微

課本寫得更多

他告訴你事實上呢(In fact)，z這個parametrization要怎麼取都可以

任取一個z=y都使得x^(-1)。y可微



以上個人淺見，希望對你有幫助

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※ 編輯: yasfun (1.162.40.190), 07/15/2018 19:05:20
→ Vulpix      : 才剛要推那個就修掉了XD
→ yasfun      : 符號太多ㄌ…><
推 iamokay     : Thanks. I'm working on it.
推 iamokay     : 我想我的問題就是不知道要用哪個可微的定義吧
→ iamokay     : 想法一直很難離開初微跟高微
→ yasfun      : 函數的domain或codomain如果是曲面的話，判斷可微
→ yasfun      : 分性就需要compose文中的z，compose之後就會很像R^2
→ yasfun      : 到R^2的函數，才能判斷是否可微
推 iamokay     : 這就是我的疑惑，那parametrization本身呢?
→ iamokay     : 前輩可以看看do Carmo在前面對它可微下的定義
→ Vulpix      : x:U→M，所以x^-1:x(U)→U就是一個從M的子集打出去
→ Vulpix      : 函數。可以當作一個普通的f。
→ yasfun      : 我想你的疑惑應該是2-2的Def.1。按照直觀理解，應
→ yasfun      : 該是利用參數化的x和x^(-1)來合成domain或codomain
→ yasfun      : 在S的函數，進而判斷此函數是否可微。
→ yasfun      : 但在課本的Def.1這裡，它默默用了S embedded在R^3
→ yasfun      : 的事實，進而用"x看成U to R^3是否可微"來判定"x看
→ yasfun      : 成U to S是否可微"。
→ yasfun      : 如果S是embedded submanifold of R^3，那麼這兩種
→ yasfun      : 看法(上面兩個""內的敘述)應該是相同的
推 iamokay     : 謝謝，看來我應該學到manifold之後再回頭想這個問題