Re: [代數] irreducible or reducible

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《IminXD (Enjoy the mess..)》之銘言：
: Determind whether they are irreducible over Q.
: If it is reducible,express it as a product of irreducible.
:        6   5    3    2
: (a) 2x^ -x^ +7x^ -3x^ +2x +3
:        4     3     2
: (b) 2x^ -16x^ +42x^ -31x +5
: 這兩題下午做好久都做不出來..
: 希望有人能給點方法><
reference：ja gallian contemporary abstract algebra p307
(a)
牛頓因式法知有根-3/2
2x^6-x^5+7x^3-3x^2+2x+3=(2x+3)(x^5-2x^4+3x^3-x^2+1)
對(x^5-2x^4+3x^3-x^2+1)用mod2、mod3 test 無效
用mod5 test 知irreducible over Z_5
假設其為二次式*三次式，二次式形為
x^2+ax+b有25種情形，去除有根(mod5)的因式，剩下
x^2+x+1、x^2+4x+1、x^2+2、x^2+x+2、x^2+4x+2、x^2+3、x^2+2x+3、
x^2+3x+3、x^2+2x+4、x^2+3x+4十種情形，使用長除法(mod5)檢驗。
(b)使用mod3 test 知irreducible over Z_3
假設有二次因式，形為x^2+ax+b，共有9種情形，去除有根(mod3)的因式
，剩下x^2+1，x^2+x+2、x^2+2x+2三種情形，用長除法(mod3)皆無法整除。
故(b)式irreducible over Q

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推 Desperato   : 不是irr over Z3 只是no rational root吧
→ Sfly        : 就是irr over Q沒錯
推 Desperato   : 我的意思是 mod 3 test的結論是 no rational root
→ Desperato   : . 不是真 irr 吧 那是後來驗證的
→ Sfly        : ? irr over Zp,就會irr over Q
→ Desperato   : R 我的no rational root是指沒有一次因式
→ Desperato   : 可是還有二次三次R
→ chemmachine : 倒數第三行我有證假設可分解二次式乘二次式
→ chemmachine : 三次式*一次式不用證，因為就是mod test