推 ejijojo : 布馮的針 07/18 00:54
突然想起十多年前國中數學老師問的一個機率問題
一根長度為L的棒子
落在一個有無窮多平行線的平面上
其平行線彼此的間隔為d
求棒子L會與任一平行線交錯的機率
本人大概只猜得到：
(i)若L>>d，其機率趨近於1；若L<<d，其機率趨近於0
因為若L>>d，當棒子落在平面上時，只有L與平行線平行才不會相交
而L<<d時，棒子可視為一個點，點要剛好落在線上的機率應該趨近於0
(ii)若L=d，除非棒子中心落在兩平行線的中點，才有可能不會相交，所以應該是0
(iii)若L>d
落在中心的話，則是去算棒子剛好沒有與平行線相交時，棒子與平行線的夾角x
沒有相交的機率是4x/2pi，其中x=asin(d/L)
若沒有落在中心，假設棒子中心落在離平行線y的位置，其中y小於L/2
則是去算棒子剛好與平行線接觸時，棒子與平行線的夾角z
其沒有相交的機率是4z/2pi，其中z=asin(2y/L)
(iv)若L<d，棒子中心落在離平行線小於y的位置才有可能相交，其中y小於L/2
假設棒子中心落在距離平行線y的位置
則是去算棒子剛好與平行線接觸時，棒子與平行線的夾角z
其沒有相交的機率是4z/2pi，其中z=asin(2y/L)
不知道我以上的思路有沒有錯誤?
其機率用L跟d的general form是怎麼表示?要怎麼算出來的?
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