Re: 高中數學算幾不等式

[ERT312 (312)]

※ 引述《aeiou5487 (Lin)》之銘言：
: https://i.imgur.com/GYeMCTz.jpg
: 下圖右邊是詳解的方法，而左邊自己的想法算得值跟右邊差很多，想請問左邊方法合理嗎
: ？
: https://i.imgur.com/d2EZLf1.jpg

左邊的方法:
                 16           ∕￣￣￣￣￣
f(x)= x^2  +  --------- ≧ 8 ∕    x^2              (式*)
               x^2 + 1      ∕  ---------
                           √     x^2 + 1

雖然這個不等式對任何的實數x都成立
但是看不出 f(x) 的極值

                    16
即使令 x^2  =  -----------   ，然後求出某個特定的 x，令其為 a
                 x^2 + 1


那也只是 f(a) = a^2 + 16/(a^2 + 1) ≧ 8√(a^2/(1+a^2))

但無法確定 8√(a^2/(1+a^2)) 是 f(x)的極值

因為 a 是限定的值

又例如

不等式*的右邊 8√(x^2/(1+x^2)) 明顯有最小值0，最小上界8

換句話說我可以找到一個數 b 使得

f(b) = b^2 + 16/(1+b^2) ≧ 8√(b^2/(1+b^2)) > 7.9

但7.9甚至不是f(x)的下界，因為上式的 b 也被限定了

右邊的作法:


                           16
f(x) + 1 = x^2 + 1  +  --------- ≧ 8
                        x^2 + 1


一樣，這個不等式對於任意的實數 x 都成立

換句話說 f(x) ≧ 7，不管x是多少

因為x是任意的，沒有被限定，因此 7 是 f(x)的一個下界

至於f(x)會不會等於7
                          16
只要驗證 x^2 + 1 與  ------------- 會不會相等就好了
                       x^2 + 1

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推 shanewang43 : 聽不太懂 為什麼左式的x被限定了?
※ 編輯: ERT312 (218.164.173.208), 07/19/2018 13:33:57
→ rdiodul     : 算幾不等式只是表示兩個正數的算數平均和幾何平均
→ rdiodul     : 之間的關係，就算帶入一個a得到f(a)>=b,也不能保證
→ rdiodul     : 其餘x滿足f(x)>=b，除非右式是常數並且等號存在，才
→ rdiodul     : 能得知左式的最小值就是b