Re: [工數] Wronskian

[LivingLouder (We’re living louder)]

※ 引述《chemmachine (chemmachine)》之銘言：
: ※ 引述《LivingLouder (We’re living louder)》之銘言：
: : https://i.imgur.com/oi9RRxq.jpg
: : 圖中的框框處為關於2階齊性ODE的通解討論
: : 在我的印象中，
: : "若Wronskian=0，則線性相依"
: : 這句話是不成立的
: : 但為什麼原文書卻說這是成立的呢?
: : 謝謝！
: 在約翰科朗微積分VOLUME II 微分方程那章，說明若
: f_1(x)、...f_n(x) n階可導，則f_1(x)、...f_n(x) 線性相依若且唯若
: WRONSKIAN=0 書裡有完整證明。 一般微積分書沒有。ODE的書也許有，忘了。
: 所以重點需先滿足N階可微。
: 維基WRONSKIAN 英文版GOOGLE翻譯成中文，可以知道反例
: X^2和X*|X| 滿足WRONSKIAN=0 但在0的任何鄰域X^2和X*|X|並不線性相依。
: 除了N階可導還有其餘的條件使得W=0 iff f_1.....f_n linear dependent

這讓我有個疑問了，二階齊性線性ode的解一定滿足"n階可微嗎?

我知道正常來說，會用e^(mx)來當作基底，再去做線性組合。
但有沒有可能是用另外一組基底去做線性組合呢？

所以我的新疑問是通解的形式是“唯一嗎”？
一定是像y=c1e^(x) + c2e^(2x)的形式嗎？

不好意思問題有點多，謝謝

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→ Vulpix      : 1.要看係數。常係數的話，解甚至可解析。
→ Vulpix      : 2.不唯一。  3.不一定要寫成那個形式個形式。
→ Vulpix      : 剛剛應該是回答第三、第四個問號。
→ Vulpix      : 2.跟其他向量空間一樣，基底當然可以換。
→ LivingLouder: 請問解為可解析要如何證明呢
→ LivingLouder: 課本只有提到方程式係數為連續的
推 chemmachine : 常係數的n階常微分方程有公式。一般微積分書都有。
→ Vulpix      : 最簡單的證明就是從公式看出可解析。
推 chemmachine : 推vulpix大
推 Poincare    : 記得C.B.Morrey好像有證明係數都解析則解也會解析
→ Poincare    : 阿...好像要是橢圓PDE才會...