Re: [中學] 兩題中一中數理資優班考題

[LPH66 (J∪$т М㎝iκä)]

※ 引述《CBH (吸逼A去)》之銘言：
: https://imgur.com/Ik8fnCQ
: 3Q
Q1. 這裡寫根式可以假定它只問實數, 也就是負數的五次方根取負實數那一個

       5              5
令 u = √(103-x), v = √(x-21)

則有 u+v = 2, u^5+v^5 = 82

前式取五次方得

u^5+5u^4v+10u^3v^2+10u^2v^3+5uv^4+v^5=32

u^5+v^5+5uv(u^3+2u^2v+2uv^2+v^3)=32

u^5+v^5+5uv(u+v)(u^2+uv+v^2)=32

u^5+v^5+5uv(u+v)((u+v)^2-uv)=32  代入已知

82+5uv(2)(4-uv)=32  這可以視為 uv 的二次式, 公式解解得 uv = -1 or 5

但 u+v=2 所以 uv = u(2-u) = -(u-1)^2+1 ≦ 1 故 uv = 5 不合
               注意到這裡是配方不是算幾
最後 uv = -1 故 (uv)^5 = -1, 而 u^5+v^5 = 82

由根與係數再解一個二次式可解得 u^5, v^5 = 41±29√2

所以 x 有兩解: x-21 = 41±29√2 => x = 62±29√2  #

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不解 u v 直接解 u^5 v^5 是因為其實繞路了

u,v 可以解得是 1±√2 (由 u+v=2, uv=-1 解得)

不過這之後要求 x 要算 (1±√2)^5 這個的計算量還是稍微大了一些

那不如直接由 u^5+v^5 和 (uv)^5 解出 u^5 和 v^5

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LPH  [acronym]
= Let Program Heal us
                        -- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.30.46
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※ 編輯: LPH66 (140.112.30.46), 08/02/2018 14:50:27
推 Desperato   : 推 我一直不想五次方只想用猜的 果然沒這麼好康XD
推 CBH         : 厲害!
→ LPH66       : 看到 82 其實有想猜, 不過對半的 41 不太容易聯想到
→ LPH66       : 需要補 √2 (事實上 41/29 是 √2 第五個漸近分數)
→ LPH66       : 附近的完全五次方又只有 32 真的猜不出來要配誰 XD
※ 編輯: LPH66 (140.112.30.46), 08/02/2018 15:16:09
※ 編輯: LPH66 (140.112.30.46), 08/02/2018 15:17:10
→ thr3ee      : 這一題應該是仿照三次根號的類題
→ thr3ee      : 源頭就是卡丹公式求根會掛三次根號的簡化問題
→ thr3ee      : 只是出題者把三次根號改成五次根號
→ thr3ee      : 我想大大的方法大概是最直接的方法了