[中學] 多項式證明

[sincere617 (頂著鋼盔往前衝)]

請問大大們
這一題要怎麼思考
我用 f(x^2)=(x+1)^2
然後矛盾 可是感覺還是怪怪的

https://i.imgur.com/mSotV8E.jpg
再麻煩大大們指引迷津

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.199.88
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1533457167.A.B73.html
→ a88241050   : f(a)-f(b)會是a-b的倍數?
→ thr3ee      : 這題在FB社團有看過
→ thr3ee      : mod 7的時候4=25=f(16)=f(25)=49=0 產生矛盾
推 jellyfishing: 推一樓解法，好直觀XD
推 gunman321   : 用比較感覺的方法就是另f(x)=Q(x)(x-16)(x-25)+ax+b
→ gunman321   : 解出a,b 然後令f(x)=anx^n+an-1x^n-1...
→ gunman321   : 可以推導出若是整係數必an屬於整數 然後牽動Q(x)
→ gunman321   : 最後骨牌效應 發現a,b不屬於整數 不合
→ gunman321   : 所以矛盾
→ gunman321   : 以上是我大致的猜想 不知道對不對
→ balista     : f(16)=25, so f(x)=(x-16)g(x)+25, f(25)=49 ==>
→ balista     : 3 g(x) = 8, impossible!
推 Vulpix      : 樓上跟一樓的意思一樣，不過，「g(x)是整係數的」
→ Vulpix      : 其實須要說明。
推 Desperato   : 高中生都把它當成對的 但其實是沒那麼好證的guass
→ Desperato   :  lemma 我覺得一定很多老師都沒發現這件事情XD
→ balista     : 「g(x)是整係數的」 我覺得是很好的練習, 不太難.
→ Sfly        : g(x)是整係數只是因為你是用首一多項式去除，不需要
→ Sfly        : Gauss lemma
推 Vulpix      : 對啊，理由就只是因為monicity。但高中「詳解」通常
→ Vulpix      : 都寫不到這一步上。
→ Desperato   : 其實首項不是1仍然可以用長除法證明 其實那差不多
→ Desperato   : 就是gauss lemma的證明
→ Desperato   : 即使首項不是1 應該也沒人在管這個XD
→ Desperato   : 簡單來說 就是一出現分數就回不去了 然後就會矛盾