Re: [中學] 有關多項式

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 題目：
: 令 p(x) 為實係數多項式，已知 deg p(x) 為偶數.
: (k+1)p(k)-k = 0 , 其中 k = 0,1,2,……,n
: 求出 p(n+1).
: 我想，p(k) = k/(k+1) , 其中 k = 0,1,2,……,n
: 即圖形 y=p(x) 通過 (0,0),(1,1/2),(2,2/3), …… ,(n,n/(n+1))
: 用拉格朗日插值多項式通過上面 n+1 個點，
: 進一步看出無法確定 p(n+1) 的值(用n表示)
: 題目似乎少了什麼條件……
教甄題
(x+1)p(x)-x=0  x=0,1,...n
p(x)=x/x+1     x=0,1,...n
p(x)-x/x+1=0   x=0,1,...n
令 g(x)=(x+1)(p(x)-x/x+1)為多項式
deg g(x) 為奇數，deg p(x) 為偶數
g(0)=0，....，g(n)=0
設(x+1)(p(x)-x/x+1)=a*x*(x-1)*...*(x-n) ,a為待定常數
p(x)=[a*x*....(x-n)+x]/(x+1)=
x*(a(x-1)*....(x-n)+1)/(x+1)
x+1| a(x-1)*...(x-n)+1
故a*(-2)*(-3)*....(-(n+1))+1=0
(-1)^n*a*(n+1)!+1=0
因deg g(x) 奇數
故 n偶數
a=-1/(n+1)!

p(x)=[-1/(n+1)!*x*...(x-n)+x]/x+1
p(n+1)=[-1/(n+1)!*(n+1)*....*1+n+1]/(n+2)
=n/n+2                            #

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推 Vulpix      : deg[p(x)]是奇數比較好玩，p(n+1)都是1。
→ yyc2008     : 設(x+1)(p(x)-x/x+1)=a*x*(x-1)*...*(x-n) 為何是a
→ yyc2008     : 不是另外一個多項式呢? 沒有說n剛好就是degg(x)吧?
→ yyc2008     : 可以麻煩c大解釋一下嗎?我知道degg(x)=degp(x)+1
→ Vulpix      : 不就是因為原po題目欠條件嗎？所以補上啊。
→ yyc2008     : 了改  謝謝V大
→ chemmachine : 我的確是自己補上條件的喔，不過我有看過類似教甄題
→ chemmachine : 所以應該沒算錯。100年基隆高中教師甄試有類似題，
→ chemmachine : ，但跟這題不同。網路上有教甄題的解答，我寫過把
→ chemmachine : 他融會貫通而已
→ chemmachine : 第一次看到這題我也不會，是看網路解答才會的。
→ chemmachine : 特別感謝VULPIX大補充。
→ yyc2008     : 謝謝ch大