[分析] 微分有界則極限存在 反例一問(1000p)

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一個如題的問題，但請先聽我說個來龍去脈XD

懶人包直接在最後
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<property>

Let f：U → R^m be a differentiable function

where U is an open set in R^n

If p€bd(U) and │Df(x)│<= M for all x around p with the same radius r define
d below

and there exists r > 0 s.t. B_p(r)∩U is convex

Then lim f(x) exists
    x→p


這個性質用MVT + cauchy criteria很好證，而且從紅色條件看出來convex才讓MVT對

但是，我找了一些反例(不符合紅色，然後微分有界但是導出極限不存在)時

發現這些反例恰好都是 B_p(r)∩U is disconnected

所以我才猜測說 會不會其實只要 B_p(r)∩U is connected的話 這個定理就成立

但是我證不出來(因為MVT就是要convex讓線不超出) 也湊不出反例QQ


因為藉由觀察 已經證出：如果

(1) B_p(r)∩U 可以寫成一群 convex sets C_i的聯集
(2) 每個C_i至少存在一個C_j, j=/=i, 使得 p€limit point(C_i ∩ C_j)

則原定理還是成立

舉例來說，假設 U = R^2 - {(0,0)}，那 p = (0,0)就是U的邊界點

而B_p(R)雖然不是convex的，但是他可以寫成四個半平面(當然convex)的聯集

因此藉由一些極限操作手法也可以證明原定理成立

所以反例只可能發生在像 U = R^2 - {x^2+y^2 <= 1} 這種case

比如 p = (0,1)€bd(U)

那 B_p(r)∩U 就如同右圖綠色區域 https://imgur.com/Rd3q6tK

這種有圓弧的絕對不可能寫成有限個凸子集的聯集

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總之，懶人包的話，想要證明或是給反例以下定理：

Let f：U → R^m be a differentiable function

where U is an open set in R^n

If p€bd(U) and │Df(x)│<= M for all x around p with the same radius r define
d below

and there exists r > 0 s.t. B_p(r)∩U is conncected

Then lim f(x) exists
    x→p


第一個給出證明或是反例的1000p 感謝~

困擾很久了QQ

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.68.160.241
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1535215759.A.0BC.html
推 sciphypar   : convex不是條件嗎
→ sciphypar   : 既然disconnected就不會convex那自然不是這個定理在
→ sciphypar   : 描述的對象
推 Desperato   : 這當然不對吧 令 f = log 挑一個branch, U = C-正
→ Desperato   : x軸, p=(1,0), r = 2 不就顯然死了
推 Desperato   : 如果擔心(0,0)進去 挖掉就好
→ znmkhxrw    : @s大 我是想證或是反正connected的case
→ znmkhxrw    : @D大 sor 那個微分有界around p的半徑跟r要一樣 我
→ znmkhxrw    : 改一下
推 arthurduh1  : 在 R^2, 找個無限長、通往 0 的螺線, 適當地把
→ arthurduh1  : 這螺線變寬. 函數就依照輻角來訂(計算圈數)
→ arthurduh1  : (0, 0) 要挖掉, 那點就是反例
→ arthurduh1  : connected 太寬鬆了, 我覺得應該能限縮在
→ arthurduh1  : path-connected 的情形
→ arthurduh1  : 有 path 就能套 MVT, 要擔心的是會不會有從 p 到
→ arthurduh1  : 各點都有 path, 然而這些 paths 長度無上限的狀況
a大有具體的反例嗎??

而你說的"connected太寬鬆"這問題

在R^n應該不存在吧!?

R^n中的open set，其connected, path-connected, polygonally connected 彼此等價

原本我就是想用polygonally connected來處理MVT

但是先不論長度問題 光是拆開一次後就回不去原本形式了，比如：

│f(x)-f(y)│<= │f(x)-f(z)│+ │f(z)-f(y)│

             <=  M(│x-z│+│z-y│)

但是│x-z│+│z-y│無法再寫回│x-y│了
※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 08/26/2018 16:24:52
推 arthurduh1  : 哦~ 我的 path-connected 要把 p 點加進來看
→ arthurduh1  : 這麼講的確是有點怪
→ arthurduh1  : 至於後面的 │x-z│+│z-y│ 就是 path 的長度了
→ arthurduh1  : 當 r → 0 時, 這個長度的上限只要也趨近於 0
→ arthurduh1  : 那就能證 continuous. 我例子裡的螺線就是故意
→ arthurduh1  : 打破這個條件. 要具體寫出來會有點醜, 我整理後
→ arthurduh1  : 再寄信給你好了
推 yasfun      : 我覺得a大方法有點難，因為當螺線越繞越小時，x(或y
→ yasfun      : )變動一點時，幅角就會變動蠻多的，也就是說微分bdd
→ yasfun      : 這條件有點強。但不能用MVT的難處的確就是曲線無限
→ yasfun      : 長的問題。
推 arthurduh1  : 哦哦對耶~ 原本是想用螺線走了多長, 但不好表達
→ arthurduh1  : 才換成輻角
→ arthurduh1  : 用螺線走的距離, 微分大小就能 bound 在 1 附近
推 yasfun      : 有道理