Re: [代數] 求f(2017)

[thr3ee (亞澤蛙 妮可)]

※ 引述《gdchess (飄弈)》之銘言：
: f(x+1)= [1+f(x)]/[1-f(x)] f(2)=2017
: 如標題...
: 卡關了QQ

原則:分子分母都有變數->看了很煩->就把分子的變數移除變成帶分數

step1:f(x+1)+1=2/[1-f(x)]
      -> [f(x+1)+1][1-f(x)]=2............................R1

step2:為了少打一點字 簡寫g(x)=1/f(x)
      g(x+1)=[1-f(x)]/[1+f(x)]=[g(x)-1]/[g(x)+1]
      -> [g(x+1)-1][g(x)+1]=-2
      -> [1-f(x+1)][1+f(x)]=-2f(x)f(x+1).................R2

step3:相乘R1和R2兩個式子
      [1-f(x+1)f(x+1)][1-f(x)f(x)]    =-4f(x)f(x+1)
      [1-f(x+1)f(x+1)][1-f(x+2)f(x+2)]=-4f(x+2)f(x+1)
      所以[1-f(x)f(x)]/f(x)=[1-f(x+2)f(x+2)]/f(x+2)

step4:假設(1-aa)/a=(1-bb)/b下去計算
      可得ab=-1或a-b=0
      我也懶得去討論是哪一個對
      如果是前者則f(x)f(x+2)=-1 -> f(x)=f(x+4)
      如果是後者則f(x)=f(x+2)
      (如果依照Honor1984大大的說法 應該是前者正確
       但總之驗證的方法就是直接看f(1)和f(3)的關係)

step5:f(1)=f(2017)=1-(2/2018)... Ans

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※ 編輯: thr3ee (140.112.217.172), 09/01/2018 17:04:12
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.172), 09/01/2018 17:07:52
→ yyc2008     : 謝謝thr3ee大大的解釋，瞭了
→ yyc2008     : 突然想到代數有沒有一種學問可以整理出這類函數週期
→ yyc2008     : 系統化的處理之類的
函數方程有很多類似的問題
可以參考wiki解釋: https://zh.wikipedia.org/wiki/函數方程

然後複分析裡面有很多gamma/zeta/...之類的函數
都是要用這種週期性和一些複雜的恆等式來延拓和分析
甚至於更多的情況還需要搭配積分(如積分一圈=0的性質)來推論
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.172), 09/01/2018 17:18:29
→ yyc2008     : 謝謝t大的介紹,最近剛好對特殊函數有點興趣,像羅組
→ yyc2008     : 格公式聽說是用複變導出來的,感到非常奇妙