[幾何] 用 symmetry 來 reduce ODE 的維度

[shiburin (希布凜)]

這是來自Arnold ODE 第79頁的一個題目：

https://imgur.com/SjQIXDF

先說一下 symmetry 在這裡的定義

如果一個向量場用 g^t 這個

one-parameter diffeomorphism 去 pushforward

得到的向量場跟原本自己一樣的話

這個 g^t 就是 symmetry

問題 1.

要如何證明 Hint ?

  我的嘗試:

    直接選一個座標然後把 symmetry 的定義寫出來

    不過這樣會得到一組PDE。感覺要證明 Hint 不能

    暴力解，但想不到怎麼證


問題 2.

為什麼 reduce to n-1 dimenstion ?

  我的嘗試:

    如果 Hint 是對的，那麼我有 g^(R^(n-1)) 的 group

    然後根據前面這段

    https://imgur.com/TJxUUo9

    g locally 看起來是 translation

    這樣我應該會有 dim n-1 的 translation

    也就是說我的向量場在這個座標裡面跟 n-1 個 dim 沒有關係

    那這樣應該是 reduce to 1 dim 的積分問題了

    請問我哪裡推論錯誤了呢？



拜託各位大神幫我解惑 <(_ _)>

謝謝

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推 arthurduh1  : 這個 Problem 其實就是前面定理的推廣
→ arthurduh1  : Hint 就用 Lemma 的方法, 造一組 local coordinates
→ arthurduh1  : 就可以了. 問題 2. 的話, g 並不是作用在 R^(n-1)
→ arthurduh1  : 上面, 而是在 R^n 裡面的 "一堆 R^(n-1)" 上
→ arthurduh1  : translation 只有一個參數, 向量場在這個座標裡
→ arthurduh1  : 只跟 1 個 dim 無關
→ arthurduh1  : 其實也不是 R^n 和 R^(n-1), 因為只在
→ arthurduh1  : nonstationary point 附近成立, 其實是 dim n 與
→ arthurduh1  : dim n-1 的 balls, 但他們 diffeomorphic to
→ arthurduh1  : R^n 和 R^(n-1) 就是了
→ shiburin    : 懂了，謝謝
→ shiburin    : 原來問題 1 在Lemma裡就有提到了