Re: [中學] 分母立方根有理化

[Intercome (今天的我小帥)]

※ 引述《fivechess (Arron)》之銘言：
: 一般應該是湊成立方和或立方差公式，
: 但是像這題似乎就沒有辦法湊出來了，
: 還是這題無法有理化，請教大家謝謝！
: https://i.imgur.com/wAipK6t.jpg

  剛剛湊了一下還蠻醜的....

  看到立方根的有理化還是從立方和與立方差下手化簡

  原式 = 1/[3^(1/3)+2^(1/3)-1]
    分母立方和
       = [9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1]/[4-3*4^(1/3)+3*2^(1/3)]
    令a=2^(1/3)
       = [9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1]/[-3(a^2-a+1)+7]
    分母*(a+1)湊立方和
       = (a+1)[9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1]/(7a-2)
    分母立方差
       = (a+1)(49a^2+14a+4)[9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1]/678

  分母為678，

  分子為(a+1)(49a^2+14a+4)[9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1] 乘開
  (其中a=2^(1/3))

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→ musicbox810 : 想請問分母立方和和分母立方差是哪個公式?可以寫清
→ musicbox810 : 楚一些嗎? 謝謝
我就只寫分母的有理化，分子就看上面囉
原式分母：[3^(1/3)+2^(1/3)-1]{[3^(1/3)^2]-[3^(1/3)][2^(1/3)-1]+[2^(1/3)-1]^2}

= 3+[2^(1/3)-1]^3 = 4-3*4^(1/3)+3*2^(1/3)

令 a=2^(1/3)，4-3*4^(1/3)+3*2^(1/3) = -3a^2+3a+4 = -3(a^2-a+1)+7

[-3(a^2-a+1)+7](a+1) = -3(a^3+1)+7a+7 = -3*3+7a+7 = 7a-2

(7a-2)(49a^2+14a+4) = 343a^3-8 = 678
※ 編輯: Intercome (211.21.93.157), 09/11/2018 14:21:48
推 musicbox810 : 謝謝I大，我再想想看:)