Re: [中學] 分母立方根有理化

[LPH66 (J∪$т М㎝iκä)]

※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: ※ 引述《fivechess (Arron)》之銘言：
: : 一般應該是湊成立方和或立方差公式，
: : 但是像這題似乎就沒有辦法湊出來了，
: : 還是這題無法有理化，請教大家謝謝！
: : https://i.imgur.com/wAipK6t.jpg
:   剛剛湊了一下還蠻醜的....
:   看到立方根的有理化還是從立方和與立方差下手化簡
:   原式 = 1/[3^(1/3)+2^(1/3)-1]
:     分母立方和
:        = [9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1]/[4-3*4^(1/3)+3*2^(1/3)]
:     令a=2^(1/3)
:        = [9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1]/[-3(a^2-a+1)+7]
:     分母*(a+1)湊立方和
:        = (a+1)[9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1]/(7a-2)
:     分母立方差
:        = (a+1)(49a^2+14a+4)[9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1]/678
:   分母為678，
:   分子為(a+1)(49a^2+14a+4)[9^(1/3)-6^(1/3)+3^(1/3)+4^(1)/3-2*2^(1/3)+1] 乘開
:   (其中a=2^(1/3))
或者還有另一個三立方和的公式可以用:

a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

式子中取 a^3=3, b^3=2, c=-1 可得

4+3*6^(1/3) = (3^(1/3)+2^(1/3)-1)(9^(1/3)+4^(1/3)+1-6^(1/3)+3^(1/3)+2^(1/3))

所以同乘右邊第二項後分母是左邊, 分子是右邊第二項

現在分母剩下兩項了所以可以用立方和公式, 配項是 (9*36^(1/3)-12*6^(1/3)+16)

這樣乘起來分母是 226, 分子則是上面這兩個配項乘積:

(9^(1/3)+4^(1/3)+1-6^(1/3)+3^(1/3)+2^(1/3))(9*36^(1/3)-12*6^(1/3)+16)

乘開長這樣 http://tinyurl.com/ybcpyn8r

兩個做法是一樣的

Intercom 的做法在 (a+1)(49a^2+14a+4) 這裡乘開後得 63a^2+18a+102 有因數 3 可消

消完繼續乘開後和這邊乘開的結果是一樣的

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  'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
  'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
  'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
                               -- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308

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推 Intercome   : 多謝L大的補充，分子沒乘開所以沒發現分母可約3