推 hero010188 : 謝! 09/18 19:57
※ 引述《hero010188 (咖啡乾了啦)》之銘言：
: https://imgur.com/Ybi4UZR
: 求解~
設C1圓心為(0 , a), 半徑為1，
則此圓的方程式為C1：x^2+(y-a)^2=1
令此切點為p1(t1 , t1^2)，則p1也會在圓C1上(因為相切)
所以將x= t1，y= t1^2代入C1
=> t1 ^2 + (t1^2- a)^2 = 1
=> t1 ^4 + (1 - 2a) t1 ^2+ (a^2 - 1)= 0
因為相切，所以判別式要為0 => (1-2a)^2 - 4(a^2 - 1) = 0
=> - 4a + 5 = 0 , a=5/4
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設C2圓心為(0, 9/4+r), 半徑為r
則此圓的方程式為C2：x^2+(y-9/4-r)^2=r^2
令此切點為p2(t2 , t2^2)，則p2也會在圓C2上(因為相切)
所以將x= t2，y= t2^2代入C2
=> t2 ^2 + (t2^2- 9/4-r)^2 = r^2
=> t2 ^4 + (1 – 9/2-2r) t2 ^2+ [(9/4+r)^2 – r^2]= 0
因為相切，所以判別式要為0 => [1 –2( 9/4+r)]^2-4[(9/4+r)^2 – r^2]=0
=> 1-4(9/4+r)+4(9/4+r)^2-4(9/4+r)^2+4r^2=0
=> 4r^2-4r-8=0=> r^2-r-2=0, r=2 or -1(不合)
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設C3圓心為(0, 25/4+r’), 半徑為r’
則此圓的方程式為C3：x^2+(y-25/4-r’)^2=r’^2
令此切點為p3(t3 , t3^2)，則p3也會在圓C3上(因為相切)
所以將x= t3，y= t3^2代入C3
=> t3^2+(t3^2-25/4-r’)^2=r’^2
=> t3 ^4 + (1 – 25/2-2r’) t3 ^2+ [(25/4+r’)^2 – r’^2]= 0
因為相切，所以判別式要為0 => [1 –2( 25/4+r’)]^2-4[(25/4+r’)^2 – r’^2]=0
=> 1-4(25/4+r’)+4(25/4+r’)^2-4(25/4+r’)^2+4r’^2=0
=> 4r’^2-4r’-24=0=> r’^2-r’-6=0, r’=3 or -2(不合)
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設C4圓心為(0, 49/4+r”), 半徑為r”
則此圓的方程式為C4：x^2+(y-49/4-r”)^2=r”^2
令此切點為p4(t4 , t4^2)，則p4也會在圓C4上(因為相切)
所以將x= t4，y= t4^2代入C4
=> t4^2+(t4^2-49/4-r”)^2=r”^2
=> t4 ^4 + (1 – 49/2-2r”) t4 ^2+ [(49/4+r”)^2 – r”^2]= 0
因為相切，所以判別式要為0 => [1 –2( 49/4+r”)]^2-4[(49/4+r”)^2 – r”^2]=0
=> 1-4(49/4+r”)+4(49/4+r”)^2-4(49/4+r”)^2+4r”^2=0
=> 4r”^2-4r”-48=0=> r”^2-r”-12=0, r”=4 or -3(不合)
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所以可知Cn圓心為(0, (2n-1)^2/4 + n) = (0, (4n^2+1)/4)，半徑為n (n≧2)
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