推 Vulpix : (3)少一項x，這個很好分解，有因式x^4+x^3+x^2+x+1 09/20 16:12
→ Vulpix : (1)其實是完全平方，直接用(x^32+x+1)^2就好。 09/20 16:13
謝謝幫忙抓錯 因為我是 1次2次3次 找上去 (1)沒想到這麼簡單
※ 編輯: ntnusliver (1.163.220.168), 09/20/2018 21:24:08
※ 引述《mack (回家的路)》之銘言：
: 係數是Z_2
: g = x^64 + ax^3 + bx^2 + cx + d
: a,b,c,d屬於Z_2
: 要求 g 是不可約
: 請教我造法跟證明
請問一下書上是 已知g 是不可約
還是要你證明有一個這樣形式的多項式不可約?
如果是前者 可用下面的方法分別檢查1次因式 2次因式 3次因式 挑掉不可能的
如果是後者...那目前沒想到怎麼證
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令 g(x)=x^64 + ax^3 + bx^2 + cx + d
g(0)≠0 => d=1
g(1)≠0 => g(x)剩下下面4種情形
g(x)=x^64 + x^3 + x^2 + x + 1
g(x)=x^64 + x^3 + 1
g(x)=x^64 + x^2 + 1
g(x)=x^64 + x + 1
要證明誰是不可約是困難的...
不如先挑掉誰有 2次因式 3次因式
(1)證明 x^64 + x^2 + 1 有因式 x^2 + x+ 1
已知 x^3 + 1 有 因式 x^2 + x+ 1
x^64 + x^2 + 1 = x (x)^63 + x^2 + 1
= x ( (x^3+1) +1 )^21 +x^2 +1
= (x^3 +1)p(x) + x^2 +x +1
上面這個證明 其實就是高中常見技巧 把X^3 視為1去求餘式
(2)證明 x^64 + x^3 + 1 有因式 x^3 + x+ 1
仿照上面方法要找到好的替換式
x(x^3 + x+ 1)=x^4 + x^2+ x
x^4 = x(x^3 + x+ 1) + x^2 +x
x^8 = (x^3 + x+ 1)a(x) + x^4 + x^2
= (x^3 + x+ 1)a(x)+ x(x^3 + x+ 1) + x
(因此x^8 除以x^3 + x+ 1 餘 x)
x^64= (x^8)^8
=(x^3 + x+ 1)b(x) + x^8 = (x^3 + x+ 1)c(x) + x
x^64 + x^3 + 1 = (x^3 + x+ 1)c(x) + x^3 + x +1
(3)證明 x^64 + x^3 + x^2 + x + 1 有因式 x^3 + x^2 + 1
方法同上
(4)剩下來的
x^64 + x + 1
所有一次 二次 三次 因式上面均檢查過了沒有這樣的因式
再來要檢查4次 5次...
如果題目沒說有解 後面就等高人補充...
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※ 編輯: ntnusliver (59.124.139.169), 09/20/2018 15:50:42