推 jpadesky : 謝謝分享 09/20 17:51
推 arthurduh1 : Artin-Schreier polynomial 最高次項指數要是質數哦 09/20 20:09
→ arthurduh1 : 事實上 x^64 + x + 1 有因式 x^4 + x + 1 09/20 20:10
→ arthurduh1 : 論證應該是錯在 a |-> a+b 的 order 並非 16 09/20 20:30
有道理。我錯了，
首先F_64並不包含在F_65536中，因為64 = 2^6而65536 = 2^16但6不整除16。
再來，無法直接說明a |-> a+b可以定義automorphism。
最後，有限體的Galois群是pro-cyclic, 不可能有a|->a+b這樣的automorphism。
※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/20/2018 23:07:26
→ willydp : 所以結論是通通都可約.. 09/20 23:10
推 arthurduh1 : 不會有 x |-> x+b, for all x, 但會有唯一一個 09/20 23:13
→ arthurduh1 : isomorphism 把 a 打到 a+b 吧 09/20 23:14
→ willydp : 不會，因為多項式可約，只有那些與a同個因式的根 09/20 23:17
→ willydp : 可以被autormophism送到 09/20 23:18
→ arthurduh1 : 等等, 我 23:13 那個 map 不知道在寫啥... 09/20 23:18
→ arthurduh1 : 哦哦對, 我以為先假設 g irr. 來反證了 09/20 23:19
→ willydp : 所以你得到了另一個g可分解證明 09/20 23:23
假設g不可分解。那麼splitting field會是F_2^64。
對任何二個根a, b，都有(a-b)^64 = a-b。
因此a-b落在F_64中。 但由於F_64非F_2^64的子體，對於某二個a和b，
a-b不在F_65536中，矛盾。
※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/20/2018 23:29:12
→ arthurduh1 : XD 09/20 23:28
※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/20/2018 23:31:41
→ arthurduh1 : irr 的話, splitting field 是 F_{2^64} 比較直接? 09/21 14:49
是的，寫錯了，謝謝。 應該說F_{2^6}並非F_{2^64}的子體(而不是F_{2^16})。
→ arthurduh1 : 另外, a^4096 = (a+1)^64 = a 可以知道 09/21 14:50
→ arthurduh1 : splitting field 在 F_4096 裡, 所以 g reducible 09/21 14:51
→ arthurduh1 : 還可以估算因式的最高次數 09/21 14:53
→ arthurduh1 : 然後我想問本文中 16 | #G 的理由@@ 09/21 15:12
原本我以為對所有b在F_16中
a|-> a+b都是automorphism。這樣的話這些automorphism會構成G的子群。
※ 編輯: willydp (81.194.27.158), 09/21/2018 19:31:48
→ arthurduh1 : 可是上一句只有 F_4 09/21 19:40
推 annboy : 推 09/21 23:13