作者LPH66 (J∪$т М㎝iκä)
看板Math
標題Re: [微積] 請教一下微積分嚴格定義
時間Thu Sep 20 23:42:07 2018
※ 引述《PRME (我被水桶拉)》之銘言:
: 極限嚴格定義
: for all ε>0 there exists δ>0 s.t
: 0<|x-a|<δ => |f(x)-L|<ε
這個概念是
「不管 (forall) 要函數值 (f(x)) 離極限 (L) 多近 (ε),
都能找到 (exists) 自中心點 (a) 周圍一(小)段 (δ) 的值 (x),
使得 (=>) 這段的所有函數值都掉在那麼近的地方」
: 想請問 改成 |f(x)-L|<ε => 0<|x-a|<δ,
: 就不成立嗎?
: |f(x)-L|<ε => 0<|x-a|<δ
: 好像比較直觀一點??
你這樣就變成
「使得函數值 (f(x)) 離極限 (L) 任意 (forall) 近 (ε) 的值 (x),
都會 (=>) 在中心點 (a) 周圍一(小)段 (δ) 的地方」
一來, 這句話是不對的, 反例你應該也很容易舉得出來
二來, 看看那個反例就知道這句話跟我們想表達的「要多近有多近」八竿子打不著
三來, 正確的定義裡「要多近有多近」要怎麼「有」是這個 => 推論符號在做的
所以根本不能把它反過來寫
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推 PRME : 請給個反例 09/21 00:02
推 yangs0618 : Sin函數 epsilon小於兩倍振幅? 09/21 01:00
→ LPH66 : 差不多, 原文推文一樓也是個類似的例子 09/21 01:20
推 PRME : 反例應該不是連續函數吧 09/21 01:43
推 arthurduh1 : 反例要是連續函數, 但在你的定義下會不連續 09/21 01:54
→ arthurduh1 : 要不連續的其實也是有, 因為你可以把 delta 定得很 09/21 02:20
→ arthurduh1 : 大. 09/21 02:20
→ arthurduh1 : 比如只定義在 0~1 之間的任何亂七八糟函數, 你只要 09/21 02:31
→ arthurduh1 : 取 delta=1 永遠都會符合你的定義 09/21 02:31
推 ERT312 : 只要f(x)在x=a處有定義,都會是"反例" 09/21 03:18
→ ERT312 : 或是說都不會符合"原po的極限定義",換句話說 09/21 03:19
→ ERT312 : 都不會有極限。(因定義沒有對錯的問題) 09/21 03:19
→ ERT312 : 因此這種定義看起來沒有用處 09/21 03:21
→ wohtp : 常數函數就可以把原原po的定義玩壞了 09/21 16:12
推 PRME : 我知道為什麼不能倒過來寫了,原因也不是上述所說 09/21 17:58
→ PRME : 謝謝大家 09/21 17:58
→ arthurduh1 : 上面給的其實都可以表現出你的定義的不符直覺之處 09/21 19:43
→ arthurduh1 : 如果看不懂有可能你有某些基本概念沒弄懂 09/21 19:44